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SAURO B@CCHIOCCHI

GEOMETRY - GEOMETRIA




LA GEOMETRIA



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ORIGINE DELLA GEOMETRIA

La geometria è la scienza che studia la forma e la grandezza dei
corpi, senza interessarsi delle altre proprietà quali la natura della
sostanza di cui sono costituiti, il loro colore, ecc.

Il vocabolo "geometria" significa "misura della terra" e la scienza
della geometria ha origini antichissime.



LO STUDIO RAZIONALE DELLA GEOMETRIA

I più antichi popoli, gli Egiziani, gli Assiro-Babilonesi ecc.
studiarono la geometria basandosi su casi pratici, cioè in modo
"intuitivo" senza giustificare con ragionamenti le varie proprietà
geometriche.

Per primi gli antichi greci vollero dimostrare la verità delle loro
scoperte geometriche basandosi non su verifiche pratiche, ma su
ragionamenti teorici fondati sulle proprietà generali di figure ideali
prese in esame, usando il così detto "metodo razionale".


ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI



IL PUNTO

Il punto non è costituito da materia, è privo di estensione e, come le
linee e le superfici, è un ente ideale che si può solo immaginare.

Il punto si deve supporre senza dimensioni, cioè senza lunghezza,
larghezza, spessore.

I punti si indicano con le lettere maiuscole: A, B, C, …

Un insieme di punti costituisce una figura geometrica.



LA RETTA

La retta si deve supporre di lunghezza infinita e senza altre
dimensioni (cioè senza larghezza e senza spessore).

Una retta si indica con una lettera minuscola oppure con due lettere
maiuscole indicanti due punti distinti giacenti sulla retta.

Una retta, come qualsiasi altra linea, è costituita da infiniti punti.



IL PIANO

Il piano si deve supporre esteso senza limiti in due dimensioni
(lunghezza e larghezza), ma senza alcun spessore.

I piani si indicano con lettere minuscole dell'alfabeto greco: a , b ,
c , d , …

Ad un piano appartengono infiniti punti, infinite linee e infinite rette.

Una figura geometrica si dice piana quando tutti i suoi punti
appartengono ad uno stesso piano.


I POSTULATI

Le frasi che esprimono proprietà che si ammettono senza dimostrazione
costituiscono i postulati.

Alcuni esempi: "esistono infiniti punti", "per due punti distinti
passa una ed una sola retta", "per un punto passano infinite rette".


IL "POSTULATO DEL MOVIMENTO"

Ogni figura geometrica si può spostare nello spazio senza che si
deformi, cioè sena che cambino la sua forma e le sue dimensioni.


FIGURE GEOMETRICHE UGUALI

Due figure si dicono uguali quando è possibile farle coincidere, con
un movimento che non le deformi.


PROPRIETÀ DELL'UGUAGLIANZA

1. Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva
dell'uguaglianza).

2. Se una figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale
alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).

3. Se una figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una
terza, anche la prima e la terza figura sono uguali (proprietà
transitiva dell'uguaglianza).

4. Una figura non può essere uguale ad una sua parte.


I TEOREMI

I teoremi sono proprietà geometriche che accettiamo come vere solo in
seguito ad un ragionamento.

Le frasi che esprimono tali proprietà geometriche sono gli enunciati
dei Teoremi, che constano a loro volta di due parti:

1. L'ipotesi, che esprime le proprietà che supponiamo vere.

2. La tesi, che esprime ciò che vogliamo dimostrare.


IL "TEOREMA INVERSO"

Se si invertono tra loro l'ipotesi e la tesi di un teorema può
capitare di ottenere un altro teorema, detto "teorema inverso".

Però se è vero un teorema, non è sempre vero il suo inverso.


I COROLLARI

Si chiamano corollari le conseguenze immediate di teoremi già
dimostrati o di postulati.




LA GEOMETRIA DEL PIANO


RETTE, SEMIRETTE, SEGMENTI


ALCUNI POSTULATI SULLA RETTA

1. Ogni retta contiene infiniti punti.

2. Per due punti passa una ed una sola retta.

3. Per un punto passano infinite rette.

4. Un qualsiasi punto di una retta la divide in due parti che non
hanno altri punti in comune.


LA SEMIRETTA

Si chiama semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa
da un punto.

Tale punto è detto origine della semiretta.

Tutte le semirette sono uguali.


I SEGMENTI

1. Si dice segmento la parte di retta compresa tra due suoi punti,
inclusi i punti stessi (detti estremi).

2. Il segmento che unisce due punti è detto distanza tra tali punti.

3. Si dicono consecutivi due segmenti aventi un estremo in comune (e
nessun altro punto in comune).

4. Due segmenti consecutivi si dicono adiacenti se appartengono alla
stessa retta.


CONFRONTO DI DUE SEGMENTI

Due segmenti si dicono uguali quando è possibile farli coincidere
esattamente, con un movimento che non li deformi.


SOMMA E DIFFERENZA DI DUE SEGMENTI

Per sommare due segmenti, sul prolungamento del primo segmento,
costruiamo un segmento pari al secondo in modo che coincida un loro
estremo. Il segmento che avrà per estremi gli estremi non comuni è la
somma dei segmenti dati.

Per ottenere la differenza di due segmenti si trasporta il segmento
minore in modo che coincidano un estremo e che l'altro estremo del
segmento minore appartenga al segmento maggiore. Il segmento che avrà
per estremi gli estremi non comuni di tali segmenti è la differenza
dei segmenti dati.

Somme o differenze di segmenti rispettivamente uguali sono uguali.


SOMME DI TRE O PIÚ SEGMENTI

Dati tre o più segmenti, per ottenere la loro somma, basta sommare i
primi due e poi sommare il segmento ottenuto col terzo segmento e così
di seguito.




GLI ANGOLI


I SEMIPIANI

Ciascuna retta di un piano lo divide in due parti.

Si dice semipiano ciascuna delle due parti in cui una retta divide un
piano.

Tale retta è detta origine dei due semipiani.

Tutti i semipiani sono uguali.


GLI ANGOLI

Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui due semirette, aventi
stessa origine, dividono il piano.

Le due semirette sono dette lati dell'angolo, il loro punto in comune
è il vertice.


ANGOLI CONCAVI E CONVESSI

L'angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati è detto convesso.

L'angolo che contiene tali prolungamenti è detto concavo.


COME SI INDICA UN ANGOLO

Si può indicare un angolo scrivendo, nell'ordine, la lettera di un
punto di un suo lato (che non sia il vertice), la lettera del vertice
e quella di un punto dell'altro lato. Sulla lettera centrale, che
indica il vertice, si pone il segno ^.

In alternativa si può indicare l'angolo scrivendo una lettera interna
all'angolo, generalmente dell'alfabeto greco.


ANGOLO PIATTO E ANGOLO GIRO

Un angolo si dice piatto se i suoi lati appartengono alla stessa retta.

Tutti gli angoli piatti sono uguali.

Si dice angolo giro l'angolo che comprende l'intero piano.

Nell'angolo giro i due lati dell'angolo coincidono.


CONFRONTO DI DUE ANGOLI

1. Se i lati degli angoli coincidono a due a due, i due angoli sono
uguali.

2. Se solo due lati degli angoli coincidono e gli altri due non
coincidono, gli angoli sono disuguali.

L'angolo maggiore è quello che contiene, nel suo interno, un lato
dell'altro angolo.


ANGOLI CONSECUTIVI E ANGOLI ADIACENTI

1. Due angoli si dicono consecutivi quando hanno in comune il vertice
ed un lato e nessun'altra parte.

2. Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi ed i lati non
comuni sono uno sul prolungamento dell'altro (cioè appartengono alla
stessa retta).


SOMMA E DIFFERENZA DI ANGOLI

Per sommare due angoli, si costruisce un angolo uguale al secondo e
consecutivo al primo. L'angolo avente per estremi i lati non comuni di
tali angoli è la somma degli angoli dati.

Per sommare tre o più angoli, si somma il primo col secondo, l'angolo
ottenuto col terzo e così via.

La somma di due angoli piatti è un angolo giro.

Per ottenere la differenza di due angoli disuguali si trasporta
l'angolo minore in modo che coincidano i vertici e due lati e che
l'altro lato dell'angolo minore sia nell'interno dell'angolo maggiore.
L'angolo formato dai due lati non comuni di tali angoli è la
differenza degli angoli dati.

Somme o differenze di angoli rispettivamente uguali sono uguali.


ANGOLI SUPPLEMENTARI

Due angoli si dicono supplementari quando hanno per somma un angolo
piatto.

Angoli supplementari di uno stesso angolo (o di angoli uguali) sono
uguali.


LA BISETTRICE DI UN ANGOLO

Si dice bisettrice di un angolo la semiretta, uscente dal vertice, che
lo divide in due parti uguali.


ANGOLI RETTI, ACUTI, OTTUSI

La bisettrice di un angolo piatto lo divide in due angoli uguali,
ognuno dei quali costituisce un angolo retto.

Si dice angolo retto la metà di un angolo piatto.

1. Tutti gli angoli retti sono uguali perché sono la metà di angoli
uguali (piatti).

2. Un angolo retto è uguale al suo adiacente (che è l'altra metà
dell'angolo piatto determinato prolungando uno dei suoi lati).

3. Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto.

4. Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto.


ANGOLI COMPLEMENTARI

Si dicono complementari due angoli aventi per somma un angolo retto.

Angoli complementari dello stesso angolo (o di angoli uguali) sono uguali.


ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

Due angoli si dicono opposti al vertice quando i lati dell'uno sono i
prolungamenti dei lati dell'altro.

Due angoli opposti al vertice sono uguali.




I TRIANGOLI


DEFINIZIONI RELATIVE AL TRIANGOLO

Si dice triangolo la figura costituita dai tre segmenti congiungenti
tre punti non allineati del piano e da tutti i punti ad essi interni.

I tre punti suddetti si dicono vertici del triangolo, mentre i lati
che li congiungono sono i lati.

I lati, a due a due, formano i tre angoli interni del triangolo.

Si dice lato opposto ad un angolo quando non contiene il vertice di
tale angolo.

Ogni angolo adiacente ad un angolo di un triangolo è un angolo esterno.

Si dice perimetro di un triangolo la somma dei tre lati.

Un triangolo si indica con le lettere dei suoi vertici.


TRIANGOLI EQUILATERI, ISOSCELI, SCALENI

Rispetto ai lati un triangolo può essere:

- equilatero, se ha tutti i lati uguali

- isoscele, se ha due lati uguali

- scaleno, se ha tutti i tre lati disuguali.


TRIANGOLI UGUALI

Due triangoli uguali hanno ordinatamente uguali tutti i loro elementi:
lati ed angoli ad essi opposti.


PRIMO CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI

Due triangoli sono uguali quando hanno rispettivamente uguali due lati
e l'angolo compreso.


UNA PROPRIETA' DEL TRIANGOLO ISOSCELE

In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.

Il triangolo equilatero si può considerare come un triangolo isoscele
rispetto a qualsiasi lato preso come base.

Gli angoli del triangolo equilatero sono tutti uguali.


SECONDO CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI

Due triangoli sono uguali quando hanno due angoli ed il lato ad essi
comune rispettivamente uguali.

Due triangoli sono uguali se hanno, ordinatamente, uguali due angoli e
un lato.


TERZO CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI

Due triangoli sono uguali quando hanno i tre lati rispettivamente uguali.


BISETTRICI E MEDIANE DI UN TRIANGOLO

Il segmento di bisettrice dell'angolo interno di un triangolo compreso
tra il vertice e il lato opposto è una bisettrice del triangolo.

Ogni triangolo ha tre bisettrici (una per angolo).


APPLICAZIONE DEI TEOREMI

In un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice divide
la base in due parti uguali (cioè è anche una mediana).

In triangoli uguali, i lati uguali sono precisamente quelli opposti ad
angoli uguali (e viceversa).


IL "TEOREMA DELL'ANGOLO ESTERNO"

In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli
angoli interni non adiacenti.

La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto.


TRIANGOLI RETTANGOLI, OTTUSANGOLI, ACUTANGOLI

Un triangolo non può avere più di un angolo retto od ottuso: almeno
due angoli sono sempre acuti.

- Un triangolo si dice acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.
- Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.
- Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.


RELAZIONI TRA I LATI DI UN TRIANGOLO E GLI ANGOLI OPPOSTI

1. Se un triangolo ha due lati disuguali, l'angolo opposto al lato
maggiore è maggiore dell'angolo opposto al lato minore.

2. Se un triangolo ha due angoli disuguali, il lato opposto all'angolo
maggiore è maggiore di quello opposto all'angolo minore.

In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è maggiore di ciascun cateto.

In un triangolo ottusangolo il lato maggiore è quello opposto
all'angolo ottuso.


RELAZIONI TRA I LATI DI UN TRIANGOLO

1. In un triangolo un lato è minore della somma degli altri due.

2. In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due.

Se due triangoli hanno due coppie di lati ordinatamente uguali e la
terza coppia di lati disuguali, anche gli angoli opposto a questi
ultimi risultano disuguali nello stesso senso, cioè a lato maggiore
sta opposto angolo maggiore, e viceversa.


I POLIGONI

Si dice poligono la figura formata dai lati di una spezzata chiusa e
da tutti i punti ad essa interni.

I punti considerati sono i vertici.
I segmenti che formano la spezzata sono i lati del poligono stesso.
Il poligono si indica citandone i vertici.

La somma dei lati costituisce il perimetro del poligono.

Quando si parla di un poligono e non si dice esplicitamente il
contrario, il poligono si intende convesso.

Si dice diagonale ogni segmento che congiunge due vertici non
consecutivi di un poligono.

Non è possibile disegnare un poligono avente meno di tre lati.

I poligoni con tre soli lati sono detti triangoli (essi non possiedono
diagonali).
I poligoni con quattro lati sono chiamati quadrilateri o quadrangoli.
I poligoni con cinque e sei lati sono detti, rispettivamente pentagoni
ed esagoni, ecc.

Due poligoni si dicono uguali quando hanno tutti gli elementi (lati ed
angoli) ordinatamente uguali.

I criteri di uguaglianza dei triangoli non sono validi per tutti i
poligoni: per poligoni aventi più di tre lati esistono altri criteri
più complicati.

In un poligono un lato è sempre minore della somma di tutti gli altri.




RETTE PERPENDICOLARI


DEFINIZIONE

Due rette si dicono perpendicolari quando si incontrano formando
quattro angoli uguali.

Ogni angolo formato da due rette perpendicolari è la metà di un angolo
piatto, cioè è un angolo retto.


TEOREMA

Per un punto si può condurre una ed una sola retta perpendicolare ad
una retta data.


ASSE DI UN SEGMENTO

1. Tutti i punti dell'asse di un segmento sono equidistanti dagli
estremi del segmento.

2. Se un punto del piano è equidistante dagli estremi di un segmento,
esso appartiene all'asse del segmento.


LUOGHI GEOMETRICI

Una figura si dice luogo geometrico dei punti del piano che godono di
una determinata proprietà quando sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. ogni punto della figura gode di quella proprietà
2. ogni punto che gode di quella proprietà appartiene alla figura.

L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano che
hanno la stessa distanza dagli estremi del segmento.


DISTANZA FRA UN PUNTO ED UNA RETTA

L'intersezione tra una retta e una perpendicolare condotta a tale
retta si dice piede della perpendicolare.

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare
compreso tra il punto e la retta.

Ognuno degli altri segmenti che congiungono il medesimo punto con
punti diversi dal piede della perpendicolare è detto obliqua.

Si dice proiezione di un segmento su una retta il segmento che ha per
estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato.

La distanza di un punto da una retta è minore di ogni obliqua passante
per quel punto.
Se due oblique hanno proiezioni uguali sono uguali.
Se hanno proiezioni diverse è maggiore quella che ha proiezione maggiore.


LE "ALTEZZE DI UN TRIANGOLO"

Il segmento compreso tra il vertice di un triangolo e il piede della
perpendicolare condotta alla retta che contiene il lato opposto è
detto altezza del triangolo relativa a tale lato.

Se il triangolo è rettangolo, due delle tre altezze coincidono con i
lati (cateti).


UN'ALTRA PROPRIETA' DEL TRIANGOLO ISOSCELE

L'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele coincide con la
mediana e con la bisettrice.


CRITERI DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Sono uguali due triangoli rettangoli aventi rispettivamente uguali:

1. i due cateti (dal 1° criterio)
2. un cateto e l'angolo acuto adiacente (dal 2° criterio)
3. un cateto e l'angolo acuto opposto (dal 2° criterio generalizzato)
4. l'ipotenusa ed un angolo acuto (dal 2° criterio generalizzato).

Due triangoli rettangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali
l'ipotenusa ed un cateto.

Due triangoli rettangoli sono uguali quando hanno, ordinatamente,
uguali due lati oppure un lato e un angolo acuto.


UNA PROPRIETA' DELLA BISETTRICE DI UN ANGOLO

Un qualsiasi punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai
due lati dell'angolo.

Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai lati di un
angolo è la bisettrice dell'angolo stesso.


SIMMETRIA RISPETTO AD UNA RETTA O AD UN PUNTO

Si dicono simmetrici due punti rispetto ad una retta (detta retta di
simmetria) se tale retta è perpendicolare al segmento, avente per
estremi i due punti dati, nel suo punto di mezzo.

Si dicono simmetrici due punti rispetto ad un punto (detto centro di
simmetria) se il centro di simmetria è il punto medio del segmento
avente per estremi i due punti dati.




RETTE PARALLELE


ESISTONO RETTE DI UN PIANO CHE NON HANNO PUNTI IN COMUNE

Due rette di uno stesso piano sono parallele fra loro quando non hanno
alcun punto in comune.

Le perpendicolari ad una medesima retta sono parallele fra loro.


ANGOLI "ALTERNI", "CORRISPONDENTI", "CONIUGATI"

Due rette tagliate da una terza retta (detta trasversale) formano 8
angoli che vengono distinti a coppie con nomi particolari:

- angoli alterni interni
- angoli alterni esterni
- angoli corrispondenti
- angoli coniugati interni
- angoli coniugati esterni.

Gli angoli "interni" sono quelli compresi internamente alla regione
limitata dalle prime due rette.

Gli angoli "alterni" si trovano da parti opposte rispetto alla traversale.

Gli angoli "corrispondenti" si trovano dalla stessa parte della
trasversale ed uno solo è "interno", ecc.


I CRITERI DI PARALLELISMO

Due rette sono parallele quando, tagliate da una trasversale, formano:

1. angoli alterni interni uguali
2. angoli alterni esterni uguali
3. angoli corrispondenti uguali
4. angoli coniugati interni supplementari
5. angoli coniugati esterni supplementari.


IL POSTULATO DELLE PARALLELE

POSTULATO "DELLE PARALLELE" O DI EUCLIDE:

Per un punto non giacente su una retta si può condurre una ed una sola
parallela alla retta data.

1. Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro.

2. Se due rette sono parallele, una terza retta che incontra una di
esse incontra anche l'altra.


SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto.

In un triangolo un angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli
interni non adiacenti ad esso.

Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.

Ogni angolo interno di un triangolo equilatero vale sempre un terzo di
angolo piatto, cioè 60°.


GENERALIZZAZIONE DEL CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI

Due triangoli sono uguali se hanno, ordinatamente, uguali due angoli e
un lato.


SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO

In un poligono di n lati la somma degli angoli interni vale (n - 2)
angoli piatti.


SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI DI UN POLIGONO

La somma degli angoli esterni di un poligono qualunque vale due angoli
piatti.


ANGOLI CON LATI PARALLELI O PERPENDICOLARI

Due semirette che stanno dalla stessa parte di una retta che congiunge
le loro origini si dicono concordi.
Se stanno da parti opposte alla retta, si dicono discordi.

Due angoli con i lati paralleli, entrambi concordi o entrambi
discordi, sono uguali.

Due angoli con i lati paralleli, due concordi e due discordi, sono
supplementari.




PARALLELOGRAMMI


DEFINIZIONE

Si dicono opposti i lati di un quadrilatero che non hanno punti in
comune, e gli angoli che non hanno lati in comune.

Si dice parallelogrammo un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.

In ogni parallelogrammo:
1. i lati opposti sono uguali
2. gli angoli opposti sono uguali
3. gli angoli consecutivi sono supplementari
4. le diagonali si tagliano scambievolmente per metà.


CRITERI PER RICONOSCERE SE UN QUADRILATERO E' UN PARALLELOGRAMMO

Un quadrilatero è un parallelogrammo quando risulta soddisfatta una
delle seguenti condizioni:
1. i lati opposti sono uguali
2. gli angoli opposti sono uguali
3. le diagonali si tagliano scambievolmente per metà
4. gli angoli consecutivi sono supplementari
5. due lati opposti sono uguali e paralleli.


PARALLELOGRAMMI PARTICOLARI

Il rettangolo, il rombo e il quadrato sono parallelogrammi particolari.



RETTANGOLO

Si dice rettangolo un parallelogrammo in cui i quattro angoli sono uguali.

Gli angoli del rettangolo sono tutti retti.

Le diagonali di un rettangolo sono uguali.

Se un parallelogrammo ha le diagonali uguali esso è un rettangolo.

Si dice distanza di due rette parallele il segmento di una qualsiasi
perpendicolare ad esse, compreso fra le rette stesse.



ROMBO

Si dice rombo un parallelogrammo avente i quattro lati uguali.

Le diagonali di un rombo sono fra loro perpendicolari e sono
bisettrici degli angoli.



QUADRATO

Si dice quadrato un parallelogrammo avente i quattro angoli uguali
(retti) ed i quattro lati uguali.


IL TRAPEZIO

Si dice trapezio un quadrilatero avente due soli lati paralleli.

I lati paralleli sono le basi del trapezio, gli altri due si dicono
lati obliqui.

- Se uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi il trapezio è
rettangolo;
- se i lati obliqui sono uguali il trapezio è isoscele.

In un trapezio isoscele:
1. gli angoli che hanno in comune la stessa base sono uguali
2. le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono uguali.


FASCIO DI RETTE PARALLELE

L'insieme di tre o più rette parallele costituisce un fascio di rette
parallele.

Una retta che incontri una retta del fascio le incontra tutte e prende
il nome di trasversale.

1. In un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a
segmenti uguali su una trasversale corrispondono segmenti uguali
sull'altra.

Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la
parallela ad un altro lato, essa divide il lato restante in due parti
uguali.

Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è
parallelo al terzo lato ed è uguale alla metà di esso.




LA CIRCONFERENZA


DEFINIZIONE

Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano aventi
da un punto fisso (centro) una distanza fissa (raggio).

Due circonferenze di raggi uguali sono uguali.

- Il segmento che unisce due punti di una circonferenza si dice corda;
- una corda che passa per il centro si chiama diametro;
- il diametro è doppio del raggio.

Il diametro è maggiore di ogni altra corda.

Ogni diametro divide la circonferenza in due parti uguali dette
semicirconferenze.

Due punti di una circonferenza la dividono in due parti ognuna delle
quali è un arco di circonferenza.
Se non si precisa il contrario, quando si nomina un arco si intende
quello minore.


IL CERCHIO

Si dice cerchio la figura formata dalla circonferenza e dai punti
interni ad essa.

Si dice settore circolare la parte di cerchio compresa tra un arco ed
i raggi che vanno agli estremi dell'arco.

Ogni diametro divide il cerchio in due settori uguali detti semicerchi.

Una corda divide il cerchio in due parti ognuna delle quali è detta
segmento circolare ad una base.
La parte di cerchio compresa fra due corde parallele è detta segmento
circolare a due basi.


PROPRIETA' DELLE CORDE

1. In una circonferenza il diametro perpendicolare ad una corda la
divide per metà.
2. In una circonferenza corde uguali hanno uguale distanza dal centro.
3. Se due corde di una circonferenza sono disuguali, la maggiore ha
dal centro distanza minore.
4. L'asse di una corda passa per il centro della circonferenza.
5. In una circonferenza corde uguali sottendono archi uguali e viceversa.
6. In una circonferenza il raggio perpendicolare ad una corda divide
per metà l'arco da essa sotteso.


ALTRE PROPRIETA'

Gli angoli aventi i vertici nel centro della circonferenza, si dicono
angoli al centro.

In una circonferenza ad archi uguali corrispondono angoli al centro
uguali e viceversa.

Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza.


POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA CIRCONFERENZA

1. La retta che ha due punti in comune con la circonferenza è detta
secante, ed ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio.

2. La retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza è
detta tangente, ed ha distanza dal centro della circonferenza uguale
al raggio.

3. La retta che non ha nessun punto in comune con la circonferenza è
detta esterna, ed ha distanza dal centro della circonferenza maggiore
del raggio.

Il punto di contatto tra la circonferenza e la retta tangente è detto
punto di tangenza.

La retta tangente e il raggio passante per il punto di tangenza sono
fra loro perpendicolari.

Per un punto di una circonferenza si può tracciare una sola tangente
alla circonferenza stessa.


TANGENTI AD UNA CIRCONFERENZA

1. Da un punto interno alla circonferenza non si può tracciare alcuna
retta tangente alla circonferenza stessa. Infatti qualunque retta
passante per tale punto è una secante.

2. Se il punto è sulla circonferenza, per esso passa una sola tangente.

3. Per un punto esterno alla circonferenza passano due tangenti.

I segmenti compresi tra un punto esterno e i punti di contatto delle
tangenti alla circonferenza uscenti dal punto dato sono uguali.


POSIZIONI RELATIVE DI DUE CIRCONFERENZE

Le posizioni relative che possono avere due circonferenze di un piano
dipendono dai raggi delle circonferenze e dalla distanza dei loro centri:

1. Esterne, se la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei
loro raggi.
2. Tangenti esternamente, se la distanza dei loro centri è uguale alla
somma dei loro raggi.
3. Secanti, se la distanza dei loro centri è minore della somma dei
loro raggi, ma maggiore della differenza dei loro raggi.
4. Tangenti internamente, se la distanza dei loro centri è uguale alla
differenza dei loro raggi.
5. Una è interna all'altra, se la distanza dei loro centri è minore
alla differenza dei loro raggi.
6. Concentriche, se i loro centri coincidono.

La parte di piano compresa tra due circonferenze concentriche si dice
corona circolare.


ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

1. Si dice angolo alla circonferenza ogni angolo avente il vertice
sulla circonferenza ed i cui lati sono entrambi secanti oppure uno
secante ed uno tangente alla circonferenza.

2. Si dice angolo al centro ogni angolo avente il vertice nel centro
della circonferenza considerata.

Si dice che l'angolo alla circonferenza insiste sull'arco compreso
nell'angolo o che è inscritto nello stesso arco.
L'angolo che ha vertice nel centro ed i lati passanti per gli stessi
due punt, è l'angolo al centro che insiste sullo stesso arco o che
corrisponde al detto angolo alla circonferenza.

In una circonferenza, un angolo al centro è doppio dell'angolo alla
circonferenza che insiste sullo stesso arco.

1. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
sono uguali.
2. Tutti gli angoli inscritti in una semicirconferenza sono retti.




POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA


DEFINIZIONE

1. Un poligono si dice inscritto nella circonferenza quando tutti i
suoi vertici stanno sulla circonferenza, la quale è la circonferenza
circoscritta al poligono.

2. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi
lati sono tangenti alla circonferenza, la quale è la circonferenza
inscritta nel poligono.

Poiché per tre punti non allineati passa sempre una circonferenza:
- I triangoli sono sempre inscrittibili in una circonferenza.
- I triangoli sono sempre circoscrittibili ad una circonferenza.


PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

1. Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto.

Tale punto è equidistante dai tre vertici del triangolo perché l'asse
di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti
dagli estremi del segmento.

Il punto di incontro degli assi è il centro della circonferenza
circoscritta al triangolo stesso (circocentro).

2. Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in
uno stesso punto.

Tale punto è equidistante dai tre lati del triangolo perché un
qualsiasi punto della bisettrice di un triangolo è equidistante dai
lati dell'angolo.

Il punto di incontro delle bisettrici di un triangolo è il centro
della circonferenza inscritta nel triangolo stesso (incentro).

3. Le altezze di un triangolo si incontrano in punto detto ortocentro.

4. Le tre mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto
(detto baricentro) che divide ognuna di esse in due parti tali che
quella che ha un estremo nel vertice è doppia dell'altra.


QUADRILATERI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

Se una circonferenza passa per tre soli vertici di un quadrilatero
mentre il quarto vertice non sta su questa circonferenza, il
quadrilatero si dice non inscrittibile.

In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti
sono supplementari.

In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza la somma di due
lati opposti è uguale alla somma degli altri due.


POLIGONI REGOLARI

Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati e tutti gli angoli
uguali.

1. In ogni poligono regolare si può inscrivere una circonferenza.

2. Ad ogni poligono regolare si può circoscrivere una circonferenza.

3. Se si divide una circonferenza in parti uguali (almeno tre) e si
congiungono i successivi punti di divisione, oppure si si tracciano le
tangenti alla circonferenza per i tre punti di divisione, si ottengono
dei poligoni regolari.

4. Il lato dell'esagono regolare inscritto in una circonferenza è
uguale al raggio della circonferenza.




POLIGONI EQUIVALENTI


EGUAGLIANZA DI ESTENSIONE

Due figure geometriche, cioè due parti di piano, se sono esattamente
sovrapponibili, si dicono uguali.
Esse hanno la stessa forma ed hanno anche la stessa estensione perché
occupano una uguale parte del piano sul quale si trovano.

Due figure possono avere la stessa estensione anche se non sono uguali.

Si dice che due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa
estensione.


POSTULATI DELL'EQUIVALENZA

1. Due superfici uguali sono equivalenti.

2. L'equivalenza delle superfici piane gode della proprietà
riflessiva, simmetrica, transitiva.

Si dice somma di due superfici la superficie formata dalle due
superfici date disposte in modo da avere in comune soltanto una parte
del loro contorno.

3. Date due superfici, fra esse si verifica sempre una ed una sola
delle seguenti relazioni: la prima è equivalente alla seconda, la
prima è maggiore della seconda, la prima è minore della seconda.

4. Somme o differenze di superfici uguali o equivalenti sono equivalenti.


PARALLELOGRAMMI EQUIVALENTI

Un parallelogrammo ed un rettangolo aventi basi ed altezze uguali sono
equivalenti.

Due parallelogrammi aventi basi uguali ed altezze uguali sono equivalenti.


TRIANGOLI EQUIVALENTI

Un triangolo è equivalente ad un parallelogrammo che abbia per base la
metà della base del triangolo ed uguale altezza.

Due triangoli aventi, ordinatamente, uguali una base e la rispettiva
altezza sono equivalenti.


EQUIVALENZA FRA TRAPEZI E TRIANGOLI

Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente la stessa altezza e
la base uguale alla somma delle basi del trapezio.


EQUIVALENZA TRA POLIGONI CIRCOSCRITTI E TRIANGOLI

Un poligono circoscrittibile ad una circonferenza è equivalente ad un
triangolo avente la base uguale al perimetro del poligono e l'altezza
uguale al raggio della circonferenza.

Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo avente la base
uguale al perimetro del poligono e l'altezza uguale all'apotema.


PROBLEMI GRAFICI

Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente la stessa altezza e
la base uguale alla somma delle basi del trapezio.




TEOREMI DI EUCLIDE E DI PITAGORA


PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è
equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione
del cateto stesso sull'ipotenusa.


TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

In un triangolo, se il quadrato costruito su un lato è equivalente
alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, l'angolo
compreso tra questi è retto, cioè il triangolo è rettangolo.


SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa
all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le
proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.




MISURA DELLE GRANDEZZE GEOMETRICHE


GRANDEZZE GEOMETRICHE OMOGENEE

Un insieme di figure geometriche forma una classe di grandezze quando,
prese ad arbitrio due di esse, è possibile stabilire se sono uguali o
se una è maggiore dell'altra e definire l'operazione di addizione.

Due o più grandezze della stessa classe si dicono omogenee.


MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UNA GRANDEZZA

Se una grandezza è la somma di un numero intero di grandezze uguali ad
una seconda grandezza omogenea, si dice che la prima è multiplo della
seconda.
Inoltre si dice anche che la seconda grandezza è sottomultiplo della
prima.


RAPPORTO FRA DUE GRANDEZZE

1. Quando una grandezza è multipla secondo un numero intero m di una
seconda grandezza omogenea, si dice che m è il rapporto tra le due
grandezze.

2. Se una grandezza non è multipla secondo un numero intero della
seconda grandezza omogenea, ma è multipla, secondo un numero intero m,
di un sottomultiplo della seconda grandezza, secondo un altro numero
intero n, si dice che la frazione m/n è il rapporto fra le due grandezze.

In questo caso il valore 1/n è un sottomultiplo comune delle due
grandezze.


GRANDEZZE COMMENSURABILI

Due grandezze omogenee sono commensurabili quando esiste una
grandezza, omogenea con esse, che sia contenuta in entrambe un numero
intero di volte, cioè quando le due grandezze ammettono un
sottomultiplo comune.

Il rapporto tra due grandezze commensurabili è un numero razionale.


GRANDEZZE INCOMMENSURABILI E LORO RAPPORTO

Due grandezze omogenee sono incommensurabili quando non ammettono un
sottomultiplo comune.

Il rapporto di due grandezze incommensurabili non è un numero razionale.

Per esempio, la diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili.


MISURA DI UNA GRANDEZZA

Si dice misura di una grandezza rispetto ad un'altra grandezza
omogenea prefissata (unità di misura) il numero che esprime il
rapporto fra la prima grandezza e la seconda.


PROPRIETA' RELATIVE ALLA MISURA DI GRANDEZZE

Il rapporto di due numeri è il quoziente dei numeri stessi.

1. Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle
loro misure, rispetto ad una stessa unità.

2. Il rapporto di due rettangoli di uguale altezza è uguale al
rapporto delle loro basi.


UNITA' DI MISURA

La msiura di un segmento si chiama lunghezza del segmento.
L'unità di misura dei segmenti è il metro oppure un suo sottomultiplo
o un suo multiplo.

La misura di una superficie è detta area della superficie.
L'unità di misura delle superfici è la superficie di un quadrato di
lato lungo un metro, cioè il metro quadrato oppure un suo
sottomultiplo o un suo multiplo.

La misura di un angolo è detta ampiezza dell'angolo.
L'unità di misura degli angoli è l'angolo ottenuto dividendo un angolo
giro in 360 parti uguali, detto grado. I sottomultipli del grado sono
il primo (un sessantesimo di grado) e il secondo (un sessantesimo di
primo).


AREA DEL RETTANGOLO

L'area del rettangolo si ottiene moltiplicando la lunghezza della base
per quella dell'altezza, cioè facendo il prodotto delle misure delle
due dimensioni del rettangolo stesso.


AREA DEL QUADRATO

L'area di un quadrato è uguale al quadrato della lunghezza del lato.
La lunghezza del lato di un quadrato è la radice quadrata dell'area.


AREE DI ALTRI POLIGONI



PARALLELOGRAMMO
L'area del parallelogrammo è uguale al prodotto della lunghezza della
base per quella dell'altezza.

TRIANGOLO
L'area di un triangolo è uguale al semiprodotto della lunghezza della
base per quella della rispettiva altezza.

TRIANGOLO RETTANGOLO
L'area di un triangolo rettangolo è uguale al semiprodotto delle
misure dei suoi cateti.

TRAPEZIO
L'area del trapezio è uguale al semiprodotto della somma delle misure
delle basi per la misura dell'altezza.

POLIGONO REGOLARE
L'area di un poligono regolare è uguale al semiprodotto della misura
del perimetro per la misura dell'apotema.

ROMBO
L'area di un rombo è uguale al semiprodotto delle misure delle sue
diagonali.


LA "FORMULA DI ERONE" PER IL TRIANGOLO

L'area di un triangolo è uguale alla radice quadrata del prodotto del
semiperimetro per le differenze di ciascun lato dal semiperimetro.




PROPORZIONI FRA GRANDEZZE

GRANDEZZE IN PROPORZIONE

Quattro grandezze considerate in un determinato ordine (le prime due
omogenee fra loro e le altre due pure omogenee fra loro), formano una
proporzione quando sono uguali i rapporti fra le prime due grandezze e
fra le seconde due grandezze.

La prima e la quarta grandezza sono gli estremi.
La seconda e la terza grandezza sono i medi.
La prima e la terza grandezza sono gli antecedenti.
La seconda e la quarta grandezza sono i conseguenti.
La quarta grandezza è detta quarta proporzionale dopo le prime tre.
Le quattro grandezze considerate sono i termini della proporzione.


PROPORZIONI CONTINUE

Una proporzione si dice continua quando i suoi medi sono uguali.

La seconda grandezza si dice media proporzionale o media geometrica
tra la prima e la terza grandezza.
La terza grandezza è detta terza proporzionale dopo le prime due.


PROPRIETA' FONDAMENTALI DELLE PROPORZIONI FRA GRANDEZZE

Se quattro grandezze sono in proporzione lo sono anche le loro misure.

Se sono in proporzione le misure di quattro grandezze (a due a due
omogenee) lo sono anche le grandezze stesse.


ALTRE PROPRIETA' DELLE PROPORZIONI TRA GRANDEZZE

Proprietà dell'invertire: invertendo gli antecedenti con i propri
conseguenti, si ottiene una nuova proporzione.

Proprietà del permutare gli estremi: invertendo gli estremi (con le
quattro grandezze omogenee fra loro), si ottiene una nuova proporzione.

Proprietà del permutare i medi: invertendo i medi, si ottiene una
nuova proporzione.

Proprietà del permutare i medi e gli estremi: invertendo sia i medi
che gli estremi, si ottiene una nuova proporzione.

Proprietà del comporre: sostituendo agli antecedenti (oppure ai
conseguenti) la somma di ciascun antecedente con il proprio
conseguente, si ottiene una nuova proporzione.

Proprietà dello scomporre: sostituendo agli antecedenti (oppure ai
conseguenti) la differenza fra ciascun antecedente ed il proprio
conseguente, si ottiene una nuova proporzione.


PROPRIETA' DELLE PROPORZIONI TRA SEGMENTI

Se quattro segmenti sono in proporzione, il rettangolo che ha per
dimensioni gli estremi è equivalente al rettangolo che ha per
dimensioni i medi.

Se un segmento è un medio proporzionale tra altri due segmenti, il
quadrato costruito sul primo segmento è equivalente al rettangolo che
ha per dimensioni gli altri due segmenti.


UNICITA' DEL QUARTO PROPORZIONALE

Se in due proporzioni, i primi tre termini sono uguali, anche i quarti
termini sono uguali.


GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI

Esiste una corrispondenza biunivoca tra le grandezze di due classi
quando ad ogni grandezza della prima classe corrisponde una ed una
sola grandezza della seconda classe e ad ogni grandezza della seconda
classe ne corrisponde una ed una sola della prima.

Due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono direttamente
proporzionali quando il rapporto tra due grandezze qualsiasi di una
classe è uguale al rapporto tra due grandezze qualsiasi di una classe
è uguale al rapporto delle due grandezze corrispondenti dell'altra classe.


GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI

Due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono inversamente
proporzionali quando il rapporto di due qualsiasi grandezze di una
classe è uguale al rapporto inverso delle corrispondenti grandezze
dell'altra classe.

Il rapporto tra le basi di due rettangoli di uguale area è uguale
all'inverso del rapporto delle corrispondenti altezze.

Quando si dice che due classi di grandezze sono "proporzionali", si
intende che sono "direttamente proporzionali".


IL TEOREMA DI TALETE

Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di
segmenti direttamente proporzionali.


I "TEOREMI DELLA BISETTRICE"

La bisettrice dell'angolo interno di un triangolo divide il lato
opposto in parti proporzionali agli altri due lati.

Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il
prolungamento del lato opposto, le distanze del punto di incontro
dalle estremità di tale lato sono proporzionali agli altri due lati.




POLIGONI SIMILI

ESEMPIO DI FIGURE "SIMILI"

Si dicono simili due figure di uguale forma.

Due figure uguali sono anche simili, mentre non è sempre vero il
contrario.

Due figure uguali sono contemporaneamente simili ed equivalenti.


TRIANGOLI SIMILI

Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli rispettivamente
uguali ed i lati opposti ad angoli uguali in proporzione.

1. Se due triangoli sono simili ad un terzo, essi sono simili tra loro
(proprietà transitiva della similitudine).

2. Due triangoli uguali sono anche simili.

Dati due triangoli simili, si dicono vertici omologhi i vertici di due
angoli uguali e lati omologhi i lati opposti ad angoli uguali.


TEOREMA

Ogni retta parallela ad un lato di un triangolo, se incontra gli altri
due lati, determina un triangolo simile a quello dato.

Le proporzioni fra i lati di due triangoli simili sono formate da
rapporti fra ciascun lato del primo triangolo ed il lato omologo del
secondo.


CRITERI DI SIMILITUDINE

1. Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente uguali.

2. Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso tra
lati in proporzione.

3. Due triangoli sono simili quando hanno i lati ordinatamente in
proporzione.


ALTRI TEOREMI SUI TRIANGOLI SIMILI

In due triangoli simili le altezze stanno tra loro come due lati omologhi.

I perimetri di due triangoli simili stanno tra loro come due lati
omologhi.

Le aree di due triangoli simili stanno tra loro come i quadrati di due
lati omologhi.


POLIGONI SIMILI

Due poligoni di uno stesso numero di lati si dicono simili se hanno
ordinatamente gli angoli uguali ed i lati in proporzione.

Si dicono omologhi i lati di due poligoni simili compresi tra vertici
di due angoli uguali (vertici omologhi).


TEOREMI SUI POLIGONI SIMILI

1. Due poligoni regolari di uguale numero di lati sono simili ed i
lati stanno tra loro come i raggi delle rispettive circonferenze
circoscritte o inscritte.

2. I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati
omologhi.

3. Le aree di due poligoni simili stanno tra loro come i quadrati di
due lati omologhi.




APPLICAZIONI DELLA SIMILITUDINE

NUOVA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI DI EUCLIDE

1. In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra
l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

2. In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.


IL TEOREMA "DELLE CORDE"

Se per un punto interno ad una circonferenza si conducono due corde,
tale punto le divide in modo che le due parti di una corda sono i medi
e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione.


TEOREMA "DELLE SECANTI"

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti,
una delle secanti e la sua parte esterna sono i medi, l'altra secante
e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione.


IL TEOREMA "DELLA TANGENTE E DELLA SECANTE"

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente
ed una secante, il segmento di tangente compreso fra il punto dato e
il punto di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la
sua parte esterna.


LA "SEZIONE AUREA" DI UN SEGMENTO

Si dice sezione aurea di un segmento quella parte (la maggiore) che è
media proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante.


LATO DEL DECAGONO REGOLARE INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA

Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale
alla sezione aurea del raggio di tale circonferenza.




MISURE DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO

LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA

Si dice lunghezza di una circonferenza la lunghezza di quel segmento
che è maggiore dei perimetri di tutti i poligoni inscritti e minore
dei perimetri di tutti i poligoni circoscritti alla circonferenza
considerata.


COME SI DETERMINA LA LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA

Le lunghezze di due circonferenze stanno tra loro come i rispettivi raggi.

Il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del
rispettivo diametro è costante.

Tale valore si indica con la lettera p (pi greco).

La lunghezza di una circonferenza è uguale al prodotto della misura
del suo diametro per la costante p, che si approssima in 3,14 (oppure
in 3,141592 per calcoli più esatti).


LUNGHEZZA DI UN ARCO

La lunghezza di un arco di una circonferenza è direttamente
proporzionale all'ampiezza del rispettivo angolo al centro come la
lunghezza dell'intera circonferenza lo è rispetto ad un angolo giro.


AREA DEL CERCHIO

Si chiama area di un cerchio quell'area (la quale esiste ed è unica)
che è maggiore delle aree di tutti i poligoni inscritti e minore delle
aree di tutti i poligoni circoscritti al cerchio.

Un cerchio è equivalente ad un triangolo avente la base lunga come la
corrispondente circonferenza e l'altezza uguale al raggio.

L'area di un cerchio è uguale al prodotto del quadrato della misura
del raggio per la costante p.


AREA DEL SETTORE CIRCOLARE

L'area di un settore circolare è uguale a quella di un triangolo
avente la base di lunghezza uguale a quella dell'arco e per altezza il
raggio.


AREA DELLA CORONA CIRCOLARE

L'area della corona circolare si ottiene come differenza delle aree di
due cerchi concentrici.




GEOMETRIA DELLO SPAZIO


RETTE E PIANI NELLO SPAZIO


COME SI PUO' INDIVIDUARE UN PIANO NELLO SPAZIO

1. Se una retta ha due punti in comune con un piano essa ha tutti i
suoi punti nel piano, cioè giace nel piano.

2. Per tre punti dello spazio, non allineati, passa un piano ed uno solo.

Perciò un piano dello spazio può essere determinato:

- da tre punti distinti non allineati
- da una retta e da un punto non appartenente ad essa
- da due rette incidenti
- da due rette parallele.


POSTULATI DELLO SPAZIO

1. Ogni piano divide lo spazio in due parti dette semispazi, ognuno
dei quali contiene infiniti punti.

I due semispazi si dicono opposti rispetto al piano dato.

2. Ogni segmento avente gli estremi nello stesso semispazio giace
tutto in quel semispazio.

3. Un segmento avente gli estremi in semispazi opposti rispetto ad un
piano dato, incontra quel piano in un punto.


INTERSEZIONE TRA RETTA E PIANO

Si dice intersezione tra due figure la parte che queste hanno in comune.


INTERSEZIONE DI DUE PIANI

Se due piani hanno in comune un punto, hanno in comune una retta che
passa per quel punto.

Due piani aventi in comune una retta si dicono secanti: tale retta è
la loro intersezione.


PERPENDICOLARITA' TRA RETTA E PIANO

1. Se per un punto di una retta si conducono due perpendicolari
distinte alla retta, questa risulta perpendicolare a tutte le rette
giacenti nel piano delle due rette e passanti per quel punto.

2. Tutte le perpendicolari ad una retta in un suo punto giacciono
nello stesso piano.

Una retta ed un piano si dicono perpendicolari quando la retta
incontra il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano
passanti per il punto di intersezione (detto piede della perpendicolare).

Una retta è perpendicolare ad un piano se lo incontra ed è
perpendicolare a due rette distinte del piano passanti per il punto di
intersezione.

Una retta che incontra il piano e non è perpendicolare ad esso si dice
obliqua.

1. Per un punto dello spazio si può condurre una ed una sola retta
perpendicolare ad un piano dato.

2. Per un punto dello spazio si può condurre uno ed un solo piano
perpendicolare ad una retta data.


IL TEOREMA "DELLE TRE PERPENDICOLARI"

Se dal piede di una perpendicolare ad un piano si conduce la
perpendicolare ad un'altra retta del piano, quest'ultima risulta
perpendicolare al piano delle prime due.


DISTANZA DI UN PUNTO DA UN PIANO

Si dice distanza di un punto da un piano il segmento di perpendicolare
compreso tra il punto e il piano.


SIMMETRIA RISPETTO AD UN PIANO E RISPETTO AD UN PUNTO

Due punti si dicono simmetrici rispetto al piano (piano di simmetria)
se tale piano è perpendicolare al segmento, avente per estremi i due
punti dati, nel suo punto medio.

Due punti si dicono simmetrici rispetto ad un altro punto (detto
centro di simmetria) se quest'ultimo è il punto medio del segmento
avente per estremi i due punti dati.


ANGOLO DI UNA RETTA CON UN PIANO

Se una retta interseca un piano e non è ad esso perpendicolare, si
dice angolo della retta con il piano l'angolo acuto che essa forma con
la sua proiezione sul piano stesso.


MUTUE POSIZIONI DI RETTE NELLO SPAZIO

Due rette dello spazio aventi un solo punto in comune si dicono incidenti.

Due rette si dicono parallele quando giacciono nello stesso piano e
non hanno alcun punto in comune.

Due rette distinte dello spazio possono essere:

- incidenti, se stanno nello stesso piano e hanno un punto in comune;
- parallele, se stanno nello stesso piano e non hanno alcun punto in
comune;
- sghembe, se non stanno nello stesso piano (e non hanno punti in comune).

Se due rette sono parallele ogni piano che ne incontri una, incontra
anche l'altra.

Nello spazio, due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.


ANGOLO E DISTANZA DI DUE RETTE SGHEMBE

Si dice angolo di due rette sghembe l'angolo acuto o retto formato
dalle parallele a tali rette tracciate da un qualsiasi punto dello spazio.

Due rette sghembe si dicono ortogonali se il loro angolo è retto.

Si dice distanza di due rette sghembe il segmento della perpendicolare
comune compreso tra esse.


PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO

Una retta e un piano si dicono paralleli se non hanno alcun punto in
comune.

Ogni retta condotta per un punto esterno ad un piano parallelamente ad
una retta di questo, è parallela al piano.

Se per una retta parallela ad un piano si conduce un altro piano che
incontri il primo, l'intersezione dei due piani è parallela alla retta
data.


PARALLELISMO TRA PIANI

Due piani si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune.

Le rette di intersezione di due piani paralleli con un terzo piano
sono parallele.

Segmenti di rette perpendicolari a due piani paralleli compresi tra
detti piani, sono uguali.

Si dice distanza tra due piani la distanza di un punto qualsiasi di
uno di essi dall'altro piano.


IL TEOREMA DI TALETE NELLO SPAZIO

Un fascio di piani paralleli determina su due trasversali classi di
segmenti proporzionali.




DIEDRI, TRIEDRI, ANGOLOIDI


ANGOLI DIEDRI

Un diedro è una parte di spazio limitata da due semipiani (facce del
diedro) aventi l'origine in comune (spigolo del diedro).

Si dice convesso il diedro che non contiene il prolungamento delle sue
facce.
Si dice concavo il diedro che contiene il prolungamento delle sue facce.

Se le due facce di un diedro sono contenute nello stesso piano e non
sono sovrapposte il diedro si dice piatto.

Le definizioni di diedri consecutivi e adiacenti, di somma e
differenza di diedri, sono analoghe a quelle date nella geometria
piana per gli angoli.


LA "SEZIONE NORMALE" DI UN DIEDRO

Si dice sezione normale di un diedro l'angolo formato dalle semirette
di intersezione delle facce del diedro con un piano perpendicolare
allo spigolo.

Tutte le sezioni normali di un diedro sono uguali.

Due diedri si dicono uguali quando si possono sovrapporre in modo che
coincidano i loro spigoli e le loro facce.

Due diedri uguali hanno sezioni normali uguali.

Se due diedri hanno sezioni normali uguali, essi risultano uguali.

Un diedro si dice acuto, ottuso, retto, piatto, giro quando la sua
sezione normale è, rispettivamente, un angolo acuto, ottuso, retto,
piatto, giro.

Due diedri sono complementari o supplementari oppure opposti al
vertice, quando lo sono le loro rispettive sezioni normali.


PIANI PERPENDICOLARI

Due piani che si intersecano sono perpendicolari quando formano
quattro diedri uguali (ognuno dei quali è retto).

Se una retta è perpendicolare ad un piano, qualsiasi piano passante
per essa è perpendicolare al piano dato.

Se una retta non è perpendicolare ad un piano, si può condurre per
essa un solo piano perpendicolare al piano dato.


TRIEDRI

Congiungendo i vertici di un triangolo ad un punto esterno al piano si
determinano tre semirette aventi origine in quest'ultimo punto e non
giacenti nello stesso piano.
Queste semirette determinano, a due a due, tre angoli.
Ogni coppia di questi angoli appartiene alle facce di un diedro,
determinando tre diedri.

La parte di spazio comune ai tre diedri predetti costituisce un triedro.

Le tre semirette si dicono spigoli del triedro, il loro punto di
origine è detto vertice, mentre i tre angoli costituiscono le facce
del triedro stesso.


RELAZIONE TRA LE FACCE DI UN TRIEDRO

In un triedro una faccia è minore della somma delle altre due.

La somma delle facce di un triedro è minore di quattro angoli retti.


TRIEDRI UGUALI

Due triedri si dicono uguali se le loro facce ed i diedri che esse
determinano sono ordinatamente uguali.

Due triedri sono detti opposti al vertice quando i loro spigoli
appartengono, a due a due, alla stessa retta.

Due triedri opposti al vertice non sono sovrapponibili: la loro è una
uguaglianza inversa.


ANGOLOIDI

Congiungendo i vertici di un poligono qualsiasi ad un punto esterno al
piano si determinano delle semirette aventi origine in quest'ultimo
punto e non giacenti nello stesso piano.
Queste semirette determinano, a due a due, degli angoli situati in
piani distinti.
Ogni coppia di questi angoli appartiene alle facce di un diedro,
determinando dei diedri.

La parte di spazio comune a detti diedri costituisce un angoloide,
avente un numero di facce pari ai lati del poligono dato.

1. In un angoloide una faccia è minore della somma delle altre.

2. La somma delle facce di un angoloide convesso, è minore di quattro
angoli retti.




I POLIEDRI


DEFINIZIONI RELATIVE AI POLIEDRI

Si dice poliedro una parte di spazio limitata da poligoni situati in
piani diversi in modo che ciascuno dei lati di tali poligoni sia
comune a due soli di essi.

Detti poligoni sono le facce del poliedro, i loro lati ed i loro
vertici sono, rispettivamente, gli spigoli ed i vertici del poliedro.

La somma delle superfici delle facce costituisce la superficie del
poliedro.

TEOREMA DI EULERO
Il numero degli spigoli aumentato di due è uguale alla somma del
numero delle facce e di quello dei vertici.

Un poliedro deve avere almeno quattro facce per essere tale.

Se il poliedro ha quattro facce è detto tetraedro, se ne ha cinque è
detto pentaedro, se ne ha sei esaedro, ecc.

Si dice diagonale di un poliedro il segmento che unisce due qualsiasi
vertici non appartenenti alla stessa faccia.

Due poliedri si dicono uguali quando hanno ordinatamente uguali tutti
gli elementi, cioè le facce e gli angoloidi che esse determinano.


PRISMI
DEFINIZIONI RELATIVE AI PRISMI

Conducendo una retta per un vertice di un poligono, che non sia
contenuta nel piano del poligono, e tracciando per gli altri vertici
altrettante rette tutte parallele alla prima, si determinano da
ciascuna di queste rette con la retta successiva (secondo l'ordine
indicato dai vertici del poligono) dei piani.
Tali piani determinano dei diedri aventi per spigoli le rette date.

Si chiama prisma indefinito la parte di spazio comune ai diedri predetti.

La parte di prisma indefinito compresa fra due piani paralleli si dice
prima definito o, semplicemente, prisma.

I poligoni ottenuti dalla intersezione di due piani paralleli con le
facce del prisma indefinito rappresentano le basi del prisma definito.
I loro lati sono gli spigoli della base.

Gli altri poligoni che limitano il prisma sono le facce laterali.
I lati delle facce laterali che non appartengono alla base del prisma
sono gli spigoli laterali.

La somma delle superfici delle facce laterali costituisce la
superficie laterale del prisma.
La somma della superficie laterale e della superficie delle due basi
costituisce la superficie totale del prisma.

Un prisma si dice retto quando gli spigoli laterali sono
perpendicolari ai piani delle basi (altrimenti il prisma di dice obliquo).

Le basi di un prisma sono poligoni uguali.
Le facce laterali di un prisma sono dei parallelogrammi.
Le facce laterali di un prisma retto sono dei rettangoli.


MISURA DELLA SUPERFICIE DI UN PRISMA RETTO

Si dice altezza di un prisma la distanza tra i piani delle sue basi.

L'area della superficie laterale di un prisma retto è uguale al
prodotto della lunghezza del perimetro della base per la misura
dell'altezza.

L'area della superficie totale di un prisma retto è uguale alla somma
della superficie laterale e delle superfici delle due basi.


PARALLELEPIPEDI

Si dice parallelepipedo un prisma avente per basi dei parallelogrammi.

Tutte le facce di un parallelepipedo sono dei parallelogrammi.

Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallelogrammi uguali.

Un parallelepipedo si dice retto quando gli spigoli laterali sono
perpendicolari ai piani delle basi.


PARALLELEPIPEDI RETTANGOLI

Si dice parallelepipedo rettangolo un parallelepipedo retto avente per
basi due rettangoli.

Tutte le facce del parallelepipedo rettangolo sono rettangoli.

I tre spigoli uscenti da uno stesso vertice sono detti dimensioni del
parallelepipedo rettangolo.


MISURA DELLA SUPERFICIE DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

Vale quanto già detto per la misura della superficie di un prisma retto.


MISURA DELLA DIAGONALE DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

La misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo si ottiene
estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure
delle sue tre dimensioni.

Tutte le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.


IL CUBO

Si dice cubo un parallelepipedo rettangolo avente tutte le dimensioni
uguali.

Tutte le facce di un cubo sono quadrati uguali.


PIRAMIDI
DEFINIZIONI RELATIVE ALLA PIRAMIDE

Si dice piramide la parte di un angoloide compresa tra il vertice ed
un piano, non passante per il vertice, che incontri gli spigoli
dell'angoloide.

Si dice vertice della piramide il vertice dell'angoloide.
L'intersezione fra le facce dell'angoloide ed il piano citato è un
poligono detto base della piramide.

La piramide si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale ecc.
secondo che la base è un triangolo, un quadrangolo, un pentagono ecc.

Le altre facce della piramide sono tutti triangoli aventi un vertice
in comune.
Queste facce sono le facce laterali e la loro somma costituisce la
superficie laterale della piramide.
Se si aggiunge alla superficie laterale quella della base si ha la
superficie totale.

I lati delle facce si dicono spigoli.

Si dice altezza della piramide la distanza dal vertice dal piano della
base.

Il poligono che si determina tagliando una piramide con un piano
parallelo alla base è simile al poligono di base; i perimetri di tali
poligoni stanno fra loro come le rispettive distanze dal vertice,
mentre le aree delle loro superfici stanno tra loro come i quadrati di
tali distanze.


LA PIRAMIDE RETTA

Una piramide si dice retta se nel poligono della sua base è possibile
inscrivere una circonferenza e il piede della sua altezza coincide con
il centro di tale circonferenza.

Le altezze delle facce laterali di una piramide retta sono tutte uguali.

Ciascuna di queste altezze si dice apotema.


PIRAMIDE "REGOLARE"

Una piramide retta avente per base un poligono regolare si dice
piramide regolare.

Le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli
tutti uguali.
L'altezza di tali triangoli è l'apotema della piramide.


AREA DELLA SUPERFICIE DI UNA PIRAMIDE RETTA

L'area della superficie laterale della piramide retta si ottiene
moltiplicando la misura dell'apotema per quella del semiperimetro
della base.


TRONCO DI PIRAMIDE

Un piano parallelo alla base di una piramide, compreso tra questa e il
vertice, divide la piramide in due parti: il poliedro compreso fra
questo piano parallelo e la base della piramide è detto tronco di
piramide.

Il poligono di base e quello ottenuto dall'intersezione con piano
considerato, sono simili e costituiscono le basi del tronco di piramide.

Le facce laterali sono costituite da trapezi.

Un tronco di piramide si dice retto quando è ottenuto da una piramide
retta.

L'altezza di una qualsiasi faccia rappresenta l'apotema del tronco di
piramide.
Si dice altezza del tronco di piramide la distanza tra le due basi.


AREA DELLA SUPERFICIE DI UN TRONCO DI PIRAMIDE RETTA

L'area della superficie laterale di un tronco di piramide retta è
uguale al prodotto della somma delle lunghezze dei semiperimetri delle
basi per la misura dell'apotema.

Aggiungendo le aree delle due basi alla superficie laterale si ottiene
l'area della superficie totale.


POLIEDRI REGOLARI

Un poliedro è detto regolare quando le sue facce sono poligoni
regolari uguali ed i suoi diedri sono uguali.

La somma delle facce di un angoloide è sempre minore di quattro angoli
retti.

Non possono esistere più di cinque tipi di poliedri regolari:

TETRAEDRO REGOLARE
Ha quattro facce che sono triangoli equilateri uguali.
E' l'unica "vera" piramide regolare.

CUBO O ESAEDRO REGOLARE
Ha sei facce che sono quadrati uguali.

OTTAEDRO REGOLARE
Ha otto facce costituite da triangoli equilateri uguali.
E' formato dalla unione di due piramidi uguali aventi per base comune
un quadrato.

DODECAEDRO REGOLARE
Ha dodici facce che sono pentagoni regolari uguali.

ICOSAEDRO REGOLARE
Ha venti facce che sono triangoli equilateri uguali.




VOLUME DEI POLIEDRI


MISURA DI UN SOLIDO

Si dice misura di un poliedro (o volume del poliedro) il numero che
esprime il rapporto fra l'estensione del poliedro stesso e quella di
un altro poliedro assunto come unità di misura (cubo di spigolo unitario).


VOLUME DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

Due parallelepipedi rettangoli di uguale base stanno tra loro come le
rispettive altezze.

Il volume di un parallelepipedo rettangolo è uguale al prodotto delle
misure delle sue dimensioni.

Il volume di un parallelepipedo rettangolo si ottiene facendo il
prodotto dell'area della superficie di base per la misura dell'altezza.


VOLUME DEL CUBO

Il cubo può essere considerato un parallelepipedo rettangolo di
dimensioni tutte uguali.

Il volume di un cubo si ottiene elevando al cubo la lunghezza dello
spigolo.


POLIEDRI EQUIVALENTI

Due poliedri si dicono equivalenti quando hanno uguale estensione.

1. Due solidi uguali sono equivalenti.

2. Due solidi equivalenti ad un terzo sono equivalenti fra loro
(proprietà transitiva dell'equivalenza dei solidi).

3. Somme o differenze di solidi, rispettivamente, uguali o equivalenti
sono equivalenti.


IL PRINCIPIO DI CAVALIERI

Dati due solidi, se è possibile disporli, rispetto ad un piano, in
modo che ogni piano parallelo a questo li tagli secondo sezioni
equivalenti, i due solidi sono equivalenti.


EQUIVALENZA TRA PRISMI

Due prismi aventi altezze uguali e basi equivalenti sono equivalenti.

Un prisma è equivalente ad un parallelepipedo rettangolo di base
equivalente ed uguale altezza.


VOLUME DI UN PRISMA

Il volume di un prisma è uguale al prodotto dell'area della base per
la misura dell'altezza.


EQUIVALENZA TRA PIRAMIDI

Due piramidi aventi altezze uguali e basi equivalenti sono equivalenti.


VOLUME DELLA PIRAMIDE

Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente uguale
base ed uguale altezza.

Il volume di una piramide è uguale ad un terzo del prodotto dell'area
della base per la misura dell'altezza.


VOLUME DEL TRONCO DI PIRAMIDE

Il tronco di piramide equivale alla somma di tre piramidi di altezza
uguale a quella del tronco aventi per base, rispettivamente, la base
maggiore, la base minore e la loro media proporzionale.




IL CILINDRO E IL CONO


IL CILINDRO

Si dice cilindro il solido generato dalla rotazione completa di un
rettangolo intorno ad uno dei suoi lati.

Il lato intorno a cui ruota il rettangolo è l'asse del cilindro; esso
è pure l'altezza del cilindro, ossia la distanza tra le due basi.
Le varie posizioni assunte dal lato lato opposto del rettangolo nella
rotazione sono le generatrici del cilindro.
Il raggio di una qualsiasi delle due basi è il raggio del cilindro.

Il cilindro si dice equilatero se la sua altezza è uguale al diametro
del cerchio di base.
La sezione di un cilindro equilatero con un piano passante per il suo
asse è un quadrato.


AREA DELLA SUPERFICIE DEL CILINDRO

La superficie determinata dalla rotazione di una generatrice del
cilindro è la superficie laterale del cilindro stesso.
Se ad essa si aggiungono quelle delle due basi si ha la superficie totale.

L'area della superficie laterale di un cilindro è uguale al prodotto
della lunghezza della circonferenza della base per la misura dell'altezza.


VOLUME DEL CILINDRO

Se un cilindro e un prisma hanno basi equivalenti ed altezze uguali,
essi sono equivalenti.

Il volume di un cilindro è uguale al prodotto dell'area della
superficie del cerchio di base per la misura dell'altezza.


IL CONO CIRCOLARE RETTO

Si dice cono circolare retto o semplicemente cono il solido generato
dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno ad un suo
cateto.

Il cateto intorno a cui ruota il triangolo è l'altezza del cono.
L'altro cateto, nella sua rotazione, genera un cerchio che è la base
del cono.
L'ipotenusa è l'apotema del cono.

L'ipotenusa, nella sua rotazione, genera la superficie laterale del
cono stesso.
Le varie posizioni assunte dall'ipotenusa nella rotazione si dicono
generatrici.
Il punto di origine dell'altezza e dell'apotema è il vertice del cono.

Il cono si dice equilatero quando l'apotema è uguale al diametro della
base.
La sua sezione con un piano passante per l'altezza è un triangolo
equilatero.


TEOREMA

Un cono è tagliato da un piano parallelo alla base secondo un cerchio.
Tale sezione e il cerchio base stanno fra loro come i quadrati delle
rispettive distanze dal vertice.


AREA DELLA SUPERFICIE DEL CONO

L'area della superficie laterale di un cono è uguale al semiprodotto
della lunghezza della circonferenza della base per la misura dell'apotema.
Se aggiungiamo a questa l'area della base otteniamo l'area totale.


VOLUME DEL CONO

Un cono e una piramide aventi basi equivalenti ed altezze uguali sono
equivalenti.

Il volume di un cono è uguale ad un terzo del prodotto dell'area del
cerchio di base per la misura dell'altezza.


TRONCO DI CONO

Un piano parallelo alla base di un cono, compreso tra questa e il
vertice, divide il cono in due parti: quella che non contiene il
vertice è un solido detto tronco di cono.

La superficie laterale di un tronco di cono è uguale al prodotto della
somma dei raggi dei due cerchi di base per l'apotema e per la costante p.
Se alla superficie laterale aggiungiamo le superfici delle due basi
otteniamo la superficie totale.

Il volume di un tronco di cono è uguale ad un terzo del prodotto
dell'altezza per la costante p e per la somma del raggio della base
maggiore al quadrato, del raggio della base minore al quadrato e del
prodotto della misura dei due raggi.




LA SFERA


DEFINIZIONE DI SUPERFICIE SFERICA

Il luogo geometrico dei punti dello spazio che hanno la stessa
distanza (raggio) da un punto fisso (centro) si dice superficie sferica.


POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA SUPERFICIE SFERICA

- Se la distanza di una retta dal centro di una superficie sferica è
minore del raggio, la retta incontra tale superficie in due punti
(retta secante).
- Se la distanza dal centro è uguale al raggio, la retta incontra la
superficie in un punto (retta tangente).
- Se la distanza dal centro è maggiore del raggio, la retta non
incontra la superficie sferica (retta esterna).

Una retta tangente e il raggio passante per il punto di contatto
(punto di tangenza) sono fra loro perpendicolari.


POSIZIONI DI UN PIANO RISPETTO AD UNA SUPERFICIE SFERICA

Un piano, rispetto ad una superficie sferica, può essere:
- secante, se la distanza dal centro è minore del raggio
- tangente, se la distanza dal centro è uguale al raggio
- esterno, se la distanza dal centro è maggiore del raggio.

Un piano secante interseca la superficie sferica secondo una
circonferenza il cui centro è il piede della perpendicolare al piano
condotta dal centro della superficie sferica.

Se il piano secante passa per il centro della superficie sferica
(piano diametrale), la circonferenza ottenuta è detta circonferenza
massima.

Se un piano è tangente ad una superficie sferica, il raggio passante
per il punto di tangenza è perpendicolare al piano stesso.


FUSO SFERICO

Si dice fuso sferico la parte di superficie sferica limitata dalle
facce di un diedro il cui spigolo passi per il centro della sfera.

La sezione normale del diedro è l'ampiezza del fuso sferico considerato.


CALOTTA E ZONA SFERICA

Un piano che tagli una superficie sferica la divide in due parti
ognuna delle quali è chiamata calotta sferica.

Due piani paralleli che taglino una superficie sferica la dividono in
tre parti: la parte compresa fra i due piani è detta zona sferica.
La distanza tra i due piani paralleli è l'altezza della zona.


LA SFERA

Il solido formato dai punti di una superficie sferica e da tutti i
punti interni ad essa si dice sfera.

Il centro e il raggio della superficie sferica sono pure il centro e
il raggio della sfera.

La sfera è il luogo geometrico dei punti dello spazio la cui distanza
dal centro è minore o uguale al raggio.


PARTI DELLA SFERA

SPICCHIO SFERICO
La parte di sfera compresa tra un fuso sferico di ampiezza a e le
facce del diedro che lo definiscono è detta spicchio sferico di
ampiezza a.

SEGMENTO SFERICO AD UNA BASE
Un piano che tagli una sfera determina, come sezione, un cerchio e
divide la sfera in due parti ognuna delle quali è detta segmento
sferico ad una base.
La base è il cerchio sezione; l'altezza è quella della calotta sferica
corrispondente.

SEGMENTO SFERICO A DUE BASI
La parte di sfera compresa fra due piani paralleli secanti è detta
segmento sferico a due basi.
Le due basi sono i cerchi sezione; l'altezza è quella della zona
sferica corrispondente.

SETTORI SFERICI
Esistono i seguenti due solidi:

1. Una calotta sferica e la superficie del cono avente per vertice il
centro della sfera che contiene la calotta e per base quella della
calotta limitano un solido detto settore sferico.
2. Una zona sferica e le superfici dei due coni aventi per vertice il
centro della sfera e per basi quelle della zona limitano un solido
detto settore sferico.

(Nel secondo caso il solido ottenuto è la differenza fra una sfera e
due settori sferici di uguali dimensioni, come descritti nel primo
caso, le cui calotte sferiche sono state ottenute da due piani
paralleli passanti ad uguale distanza dal centro della sfera.)


VOLUME DELLA SFERA

Una semisfera è equivalente al solido differenza tra un cilindro ed un
cono aventi raggio di base e altezza uguali al raggio della semisfera.

Il volume della sfera sarà il doppio del volume della semisfera.

Il volume di una sfera è uguale ai quattro terzi del prodotto della
costante p per il cubo della misura del suo raggio.


AREA DELLA SUPERFICIE SFERICA

L'area della superficie di una sfera è quattro volte quella di un
cerchio di uguale raggio.


AREA DEL FUSO SFERICO

L'area della superficie di un fuso sferico è direttamente
proporzionale alla propria ampiezza come l'area dell'intera superficie
sferica lo è rispetto ad un angolo giro.


AREA DELLA CALOTTA E DELLA ZONA SFERICA

L'area della calotta sferica è uguale al doppio del prodotto del
raggio per l'altezza e per la costante p.

L'area della zona sferica è uguale al doppio del prodotto del raggio
per l'altezza e per la costante p.


VOLUME DELLO SPICCHIO SFERICO

Il volume di uno spicchio sferico è direttamente proporzionale alla
propria ampiezza come il volume dell'intera sfera lo è rispetto ad un
angolo giro.


VOLUME DEI SEGMENTI SFERICI

Il volume del segmento sferico a due basi è uguale alla somma dei
quattro terzi del prodotto della costante p per metà dell'altezza al
cubo, più la metà dell'area del cerchio maggiore per l'altezza, più la
metà dell'area del cerchio minore per l'altezza.

Il volume del segmento sferico ad una base è uguale alla somma dei
quattro terzi del prodotto della costante p per metà dell'altezza al
cubo, più la metà dell'area del cerchio per l'altezza.


VOLUME DEI SETTORI SFERICI

Il volume di un settore sferico è uguale a quello di una piramide la
cui area di base è uguale all'area della calotta, o della zona che
limitano il settore, e la cui altezza è uguale al raggio della sfera
alla quale il settore appartiene.


SOMMARIO
LA GEOMETRIA

Origine della geometria - Lo studio razionale della geometria - Enti
geometrici fondamentali - I postulati - Il "postulato del movimento" -
Figure geometriche uguali - Proprietà dell'uguaglianza - I teoremi -
Il "teorema inverso" - I corollari
LA GEOMETRIA DEL PIANO

RETTE, SEMIRETTE, SEGMENTI
Alcuni postulati sulla retta - La semiretta - I segmenti - Confronto
di due segmenti - Somma e differenza di due segmenti - Somme di tre o
più segmenti

GLI ANGOLI
I semipiani - Gli angoli - Angoli concavi e convessi - Come si indica
un angolo - Angolo piatto e angolo giro - Confronto di due angoli -
Angoli consecutivi e angoli adiacenti - Somma e differenza di angoli -
Angoli supplementari - La bisettrice di un angolo - Angoli retti,
acuti, ottusi - Angoli complementari - Angoli opposti al vertice

I TRIANGOLI
Definizioni relative al triangolo - Triangoli equilateri, isosceli,
scaleni - Triangoli uguali - Primo criterio di uguaglianza dei
triangoli - Una proprietà del triangolo isoscele - Secondo criterio di
uguaglianza dei triangoli - Terzo criterio di uguaglianza dei
triangoli - Bisettrici mediane di un triangolo - Applicazione dei
teoremi - Il "teorema dell'angolo esterno" - Triangoli rettangoli,
ottusangoli, acutangoli - Relazioni tra i lati di un triangolo e gli
angoli opposti - Relazioni tra i lati di un triangolo - I poligoni

RETTE PERPENDICOLARI
Definizione - Teorema - Asse di un segmento - Luoghi geometrici -
Distanza fra un punto ed una retta - Le "altezze di un triangolo" -
Un'altra proprietà del triangolo isoscele - Criteri di uguaglianza dei
triangoli rettangoli - Una proprietà della bisettrice di un angolo -
Simmetria rispetto ad una retta o ad un punto

RETTE PARALLELE
Esistono rette di un piano che non hanno punti in comune - Angoli
"alterni", "corrispondenti", "coniugati" - I criteri di parallelismo -
Il postulato delle parallele - Somma degli angoli interni di un
triangolo - Generalizzazione dei criteri di uguaglianza dei triangoli
- Somma degli angoli interni di un poligono - Somma degli angoli
esterni di un poligono - Angoli con lati paralleli o perpendicolari

PARALLELOGRAMMI
Definizione - Criteri per riconoscere se un quadrilatero è un
parallelogrammo - Parallelogrammi particolari - Il trapezio - Fascio
di rette parallele

LA CIRCONFERENZA
Definizione - Il cerchio - Proprietà delle corde - Altre proprietà -
Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza - Tangenti ad una
circonferenza - Posizioni relative di due circonferenze - Angoli alla
circonferenza

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA
Definizione - Punti notevoli di un triangolo - Quadrilateri inscritti
e circoscritti - Poligoni regolari

POLIGONI EQUIVALENTI
Eguaglianza di estensione - Postulati dell'equivalenza -
Parallelogrammi equivalenti - Triangoli equivalenti - Equivalenza fra
trapezi e triangoli - Equivalenza fra poligoni circoscritti e
triangoli - Problemi grafici

TEOREMI DI EUCLIDE E PITAGORA
Primo teorema di Euclide - Teorema di Pitagora - Secondo teorema di
Euclide

MISURA DELLE GRANDEZZE GEOMETRICHE
Grandezze geometriche omogenee - Multipli e sottomultipli di una
grandezza - Rapporto fra due grandezze - Grandezze commensurabili -
Grandezze incommensurabili e loro rapporto - Misura di una grandezza -
Proprietà relative alla misura di grandezze - Unità di misura - Area
del rettangolo - Area del quadrato - Aree di altri poligoni - La
"formula di Erone" per il triangolo

PROPORZIONI FRA GRANDEZZE
Grandezze in proporzione - Proporzioni continue - Proprietà
fondamentali delle proporzioni fra grandezze - Altre proprietà delle
proporzioni fra grandezze - Proprietà delle proporzioni tra segmenti -
Unicità del quarto proporzionale - Grandezze direttamente
proporzionali - Grandezze inversamente proporzionali - Il teorema di
Talete - I "teoremi della bisettrice"

POLIGONI SIMILI
Esempio di figure "simili" - Triangoli simili - Teorema - Criteri di
similitudine - Altri teoremi sui triangoli simili - Poligoni simili -
Teoremi sui poligoni simili

APPLICAZIONI DELLA SIMILITUDINE
Nuova dimostrazione dei teoremi di Euclide - Il teorema "delle corde"
- Teorema "delle secanti" - Il teorema "della tangente e della
secante" - La "sezione aurea" di un segmento - Lato del decagono
regolare inscritto in una circonferenza

MISURE DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO
Lunghezza della circonferenza - Come si determina la lunghezza di una
circonferenza - Lunghezza di un arco - Area del cerchio - Area del
settore circolare - Area della corona circolare
GEOMETRIA DELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
Come si può individuare un piano nello spazio - Postulati dello spazio
- Intersezione tra retta e piano - Intersezione di due piani -
Perpendicolarità tra retta e piano - Il teorema "delle tre
perpendicolari" - Distanza di un punto da un piano - Simmetria
rispetto ad un piano e rispetto ad un punto - Angolo di una retta con
un piano - Mutue posizioni di rette nello spazio - Angolo e distanza
di due rette sghembe - Parallelismo tra retta e piano - Parallelismo
tra piani - Il teorema di Talete nello spazio

DIEDRI, TRIEDRI, ANGOLOIDI
Angoli diedri - La "sezione normale" di un diedro - Piani
perpendicolari - Triedri - Relazione tra le facce di un triedro -
Triedri uguali - Angoloidi

I POLIEDRI
Definizioni relative ai poliedri - PRISMI: Definizioni relative ai
prismi - Misura della superficie di un prisma retto - Parallelepipedi
- Parallelepipedi rettangoli - Misura della superficie di un
parallelepipedo rettangolo - Misura della diagonale di un
parallelepipedo rettangolo - Il cubo - PIRAMIDI: Definizioni relative
alla piramide - La piramide retta - Piramide "regolare" - Area della
superficie di una piramide retta - Tronco di piramide - Area della
superficie di un tronco di piramide retta - Poliedri regolari

VOLUME DEI POLIEDRI
Misura di un solido - Volume di un parallelepipedo rettangolo - Volume
del cubo - Poliedri equivalenti - Il principio di Cavalieri -
Equivalenza tra prismi - Volume di un prisma - Equivalenza tra
piramidi - Volume della piramide - Volume del tronco di piramide

IL CILINDRO E IL CONO
Il cilindro - Area della superficie del cilindro - Volume del cilindro
- Il cono circolare retto - Teorema - Area della superficie del cono -
Volume del cono - Tronco di cono

LA SFERA
Definizione di superficie sferica - Posizioni di una retta rispetto ad
una superficie sferica - Posizioni di un piano rispetto ad una
superficie sferica - Fuso sferico - Calotta e zona sferica - La sfera
- Parti della sfera - Volume della sfera - Area della superficie
sferica - Area del fuso sferico - Area della calotta e della zona
sferica - Volume dello spicchio sferico - Volume dei segmenti sferici
- Volume dei settori sferici





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