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§1 Problema.



Pierino deve portare un secchio da A a B, ma deve nel frattempo
passare dalla riva del fiume – che scorre rettilineo – per riempire il
secchio. Qual'è il precorso più breve ?



Soluzione. Si tratta di stabilire in quale punto C conviene attingere
l'acqua, infatti, scelto C, il percorso più breve è certo la spezzata ACB.

In fig. 1 a sinistra sono rappresentati i tre punti, A arancio, B blu,
C celeste, e la spezzata ACB. "Aprendo la figura" è possibile muovere
i punti (C però è vincolato a stare sulla riva del fiume) e
sperimentare diversi percorsi. A destra è rappresentata con un
grafico la lunghezza del percorso: la scelta dei punti A e B
determina il grafico, che mostra, al variare del punto C, quale sia la
lunghezza della spezzata ACB. Così è possibile fare qualche
esperimento ed intuire la risposta corretta.



fig. 1*



Sia B' il simmetrico di B rispetto alla riva del fiume (fig. 2),
allora i segmenti CB e CB' hanno la stessa lunghezza e il problema
diventa: trovare il punto C in modo che la spezzata ACB' sia di
lunghezza minima.



fig. 2



In fig. 2 sono illustrate alcune possibilità. Confrontando le
lunghezze delle spezzate AC"B', AC'B' e ACB' è evidente quale sia la
scelta migliore.



Conclusione. Riformuliamo la questione in modo più astratto (vedi fig. 3):

Siano dati una retta r e due punti A e B dalla stessa parte di r. Tra
tutti i punti C della retta r quello che rende minima la spezzata ACB
è il punto per cui passa la retta AB' che congiunge A al simmetrico B'
di B rispetto ad r.



fig. 3



Possiamo anche dire:

1 Proposizione. Il punto C cercato è quel punto della retta r per cui
gli angoli formati da r con le rette AC e BC sono uguali.



fig. 4



Dimostrazione. Con riferimento alla fig. 4 si tratta di vedere che gli
angoli a e b sono uguali. Ma a = g perché sono opposti al vertice, b =
g perché B' è il simmetrico di B rispetto ad r. Quindi a = b.



§2 Tangente all'ellisse



Sia r la retta tangente all'ellisse E nel suo punto P. Immaginiamo che
Pierino debba andare dal fuoco F al fuoco F' passando per un punto C
di r con il percorso più breve possibile.

Sappiamo che

|FP| + |PF'| = 2p

quindi per tutti i punti che stanno fuori dell'ellisse, e in
particolare per tutti i punti C della tangente, diversi da P, vale

|FC| + |CF'| > 2p.

Allora P è il punto che assicura il percorso minimo. Pertanto, per la
Proposizione precedente la tangente r forma angoli uguali con le rette
PF e PF', cioè



2 Teorema. Una retta tangente all'ellisse biseca le rette condotte dal
punto di tangenza ai fuochi.



fig. 5*



"Aprendo" fig. 5 si vede un filmato che evidenzia come gli angoli
formati dalla tangente con le rette per i fuochi siano sempre uguali
tra loro.



3 Costruzione con riga e compasso della tangente in un punto assegnato
di un ellisse. Dell'ellisse sono dati gli assi e un punto P. Con la
circonferenza centrata nel vertice inferiore e raggio pari al semiasse
maggiore individuiamo i fuochi F e F' sull'asse maggiore (cfr. fig. 10
Cap. 3). Si congiungono i fuochi al punto P (in rosso in fig. 6). Con
l'ausilio di una circonferenza centrata in P si determinano due punti
sulle rette PF e PF' equidistanti da P. Con l'aiuto di altre due
circonferenze centrate in questi punti si determina il loro asse (blu)
che è la tangente cercata.



P


fig. 6



4 Fuochi e raggi luminosi. Uno specchio riproduce l'immagine degli
oggetti facendoli apparire collocati dietro lo specchio, in posizione
simmetrica a quella reale. Di questo ci rendiamo meglio conto se
guardiamo di scorcio in uno specchio, posto – ad esempio – alla nostra
sinistra; con il medesimo sguardo vediamo a destra la stanza e a
sinistra la sua immagine virtuale.



fig. 7



Con riferimento alla fig. 7, dal punto A si vede nello specchio
riprodotta l'immagine di B come se si trovasse in B'. Dunque il
percorso del raggio luminoso che da B conduce al nostro occhio deve
essere BCA, perciò i raggi luminosi (e anche le onde sonore) sono
riflessi da una superfice piana in modo che raggio incidente e raggio
riflesso formino lo stesso angolo con il piano.

Naturalmente questo avviene nello spazio: il raggio incidente r e il
raggio riflesso r' formano con la retta s (loro proiezione nortogonale
sul piano π dello specchio) lo stesso angolo.



fig. 8



Tutto ciò ha interessanti applicazioni al caso dell'ellisse. A noi,
considerate le nostre piccole dimensioni rispetto al raggio terrestre,
la terra sembra piatta; allo stesso modo un raggio luminoso (così
sottile rispetto alla "curvatura di un ellisse") viene riflesso da uno
specchio ellittico come se questo fosse piano, con l'inclinazione
della tangente. Perciò un raggio uscente da un fuoco viene riflesso
nell'altro fuoco, qualunque direzione abbia, infatti i due raggi
formano con la tangente angoli uguali. Ma c'è di più, la lunghezza del
percorso FPF' non dipende dalla scelta del punto P sull'ellisse,
quindi due raggi luminosi che partono da F in direzioni diverse nel
medesimo istante, arrivano contemporaneamente in F' (sempre che uno
dei due non percorra proprio il segmento FF' nel qual caso arriva
prima). Allora se un suono viene emesso in F, esso si diffonde in
tutte le direzioni e da tutte le direzioni viene riflesso in F' e da
tutte le direzioni arriva contemporaneamente, quindi è chiaramente
percepibile. Questo spiega perché in una sala ellittica anche molto
grande, una parola bisbigliata in uno dei fuochi è chiaramente udibile
nell'altro (in particolare è evidente che la possibilità di
risostruire la parola è garantita dalla contemporaneità con cui i
suoni arrivano dai vari punti dell'ellisse).







§3 Tangente ad una parabola



5 Teorema. La tangente alla parabola in un suo punto biseca l'angolo
formato dalla perpendicolare alla direttrice condotta per il punto e
dalla retta che congiunge il punto al fuoco.



fig. 9*



Dimostrazione. (Guarda a fig. 9) Sia P un punto della parabola,
consideriamo la bisettrice dell'angolo formato dalla retta PF con la
perpendicolare alla direttrice. Sia P' il piede della perpendicolare.
Le due rette sono simmetriche rispetto alla bisettrice e i segmenti PF
e PP' sono uguali (perché P sta sulla parabola). Quindi i punti F e P'
sono simmetrici rispetto alla bisettrice.

Pertanto se Q sta sulla bisettrice, Q ≠ P, i segmenti QF e QP'sono
uguali. Mentre chiaramente |QQ'| < |QP'|. Quindi la distanza di Q
dalla direttrice è minore della distanza di Q dal fuoco. Pertanto Q è
esterno alla parabola.

Cioè tutti i punti della bisettrice, tranne P, sono esterni alla
parabola. Dunque la bisettrice è la tangente.



6 Raggi luminosi e parabole. Come mostra la fig. 10, poiché la
tangente alla parabola è la bisettrice tra perpendicolare alla
direttrice e congiungente al fuoco, un raggio di luce proveniente in
direzione perpendicolare alla direttrice viene riflesso nel fuoco.



fig. 10*



Supponiamo di avere una fonte di onde elettromagnetiche molto lontana
e di orientare l'asse della parabola in direzione di questa sorgente.
Allora tutte le onde arriveranno da direzioni praticamente parallele e
verranno tutte deviate nel fuoco, dove ci sarà una forte
"concentrazione" di segnale. Se però il tempo impiegato dai diversi
"raggi" fosse diverso, cioè se tutti i raggi non percorressero la
medesima distanza il risultato sarebbe un minestrone incomprensibile.
Ma i punti della parabola sono equidistanti dal fuoco e dalla
direttrice, quindi ogni singolo raggio impiega a raggiungere il fuoco
esattamente lo stesso tempo che avrebbe impiegato a raggiungere la
direttrice, se non ci fosse stata l'antenna parabolica; perciò tutti i
segnali arrivano contemporaneamente nel fuoco!





§4 Retta tangente all'iperbole



Analogamente a quanto accade per l'ellisse, vale la seguente

7 Proposizione. La retta tangente ad un'iperbole in un suo punto
biseca l'angolo formato dalle rette che congiungono il punto ai fuochi
(fig. 11).



fig. 11*



Dimostrazione (si può tralasciare). Si tratta di vedere che, preso un
punto P dell'iperbole e la bisettrice r dell'angolo formato dalle
rette che congiungono P ai fuochi, la bisettrice r è tangente
all'iperbole. Cioè tutti i suoi punti, tranne P stanno nella regione
centrale di fig. 12.





fig. 12



Caratterizziamo la regione centrale. La differenza delle distanze di
un punto Q del piano dai fuochi dipende continuamente da Q (in altre
parole la funzione ||FQ| - |F'Q|| è una funzione continua di Q). Essa
assume il valore 2p solo nei punti dell'iperbole, quindi in ciascuna
delle tre regioni del piano da essa determinate essa assume sempre
valori minori o sempre maggiori di 2p. Precisamente valori maggiori di
2p nelle due regioni "interne" e minori di 2p nella regione "esterna"
o centrale. (Per stabilirlo è sufficiente osservare che nei fuochi la
differenza delle distanze è ovviamente |FF'| > 2p, mentre nel punto
medio M essa è 0 < 2p). Quindi la regione esterna è caratterizzata dal
fatto che per tutti i suoi punti la differenza delle distanze dai
fuochi è maggiore di 2p.



Consideriamo ora le rette che congiungono un punto P dell'iperbole ai
fuochi e la loro bisettrice (fig. 13); le rette FP e F'P sono
simmetriche rispetto alla bisettrice e quindi il punto F", simmetrico
di F rispetto alla bisettrice è allineato a P e F'.





fig. 13*

Per un qualunque punto Q della bisettrice, vale |QF| = |QF"|.



In particolare |PF| = |PF"| e quindi la differenza 2p delle distanze
di P dai fuochi è |F'F"|.



Invece se Q sta sulla bisettrice le distanze di Q dai fuochi sono
|F'Q| e |F"Q|. La loro differenza, si consideri il triangolo QF'F", è
maggiore di |F'F"| = 2p.

Ne segue che Q sta nella regione centrale.