Cubiche piane

http://web.unife.it/progetti/geometria/Mat2000/cubiche.htm


Una curva ellittica è in particolare una cubica piana, più
precisamente una curva nonsingolare di grado tre nel piano proiettivo
complesso. Cerchiamo di dare una vaga idea di questi termini.

Il piano proiettivo complesso: potete pensare al piano proiettivo come
al piano usuale tranne che nel piano proiettivo due rette s'incontrano
sempre in un punto (non esistono rette parallelle); "complesso" perchè
invece di usare numeri reali per le coordinate dei punti, si usano
numeri complessi. Il vantaggio è che una curva "ha sempre dei punti"!
Per esempio la circonferenza x2+y2= -1 non ha punti nel piano (reale)
usuale, invece ne ha nel piano complesso; sostanzialmente è lo stesso
fenomeno per cui un'equazione del secondo grado può non avere
soluzioni reali ma ha sempre due soluzioni complesse (x2 + 1 = 0 non
ha soluzioni reali, le soluzioni complesse sono i e -i). In
conclusione nel piano proiettivo complesso due rette s'intersecano
sempre in un punto e tutte le curve hanno sempre dei punti, per il
resto è come il piano normale. Il piano proiettivo complesso è
ottenuto completando il piano usuale (reale) con punti "all'infinito"
e punti a coordinate complesse, in particolare il piano proiettivo
complesso contiene il piano usuale. Nel seguito abbrevieremo con "piano".

Cubica piana: è una curva definita da un'equazione polinomiale del
terzo grado. Le curve più semplici sono le rette (equazioni del primo
grado), poi vengono le coniche (per esempio le circonferenze) e dopo
tocca alle cubiche. Per esempio (nel piano usuale, cioè reale) la
curva di equazione y2 = x3 + 1 è una cubica.

Nonsingolare: la nostra cubica deve essere una curva "regolare", in
ogni punto deve essere definita, in modo univoco, la sua tangente.

cub_tan.gif (2770 bytes)

Quando il punto Q tende, lungo la curva, al punto P, la retta <Q,P>
tende alla tangente (in blu) alla curva nel punto P.









La nostra curva non può avere "nodi" o altre singolarità.

nodo.gif (2187 bytes)

In questo caso la curva s'incroccia con se stessa; nel punto P abbiamo
due tangenti. Il punto P è un punto singolare della curva (questo tipo
di singolarità si chiama "nodo", ci sono altri tipi di singolarità)





La nostra curva non deve avere singolarità, si dice anche che la curva
è liscia. Usando l'equazione, si può verificare, abbastanza
facilmente, se la curva corrispondente è liscia.

Un'ultima cosa (fondamentale): nel piano (proiettivo) ogni retta
interseca la nostra cubica in tre punti, contati con "molteplicità".
Cosa significa "contati con molteplicità"? Abbiamo visto che la
tangente in P è il limite delle secanti <P,Q> quando Q tende a P, la
secante <P,Q> interseca la curva in due punti (P e Q), quindi al
limite, nell'intersezione della tangente in P con la curva, il punto P
deve essere contato due volte (la tangente "tocca" la curva). Ci sono
quindi tre casi possibili:

cub_dis.gif (1885 bytes)





Questa retta interseca la curva in tre punti distinti.







Questo è il caso generico. I casi seguenti riguardano le tangenti alla
curva.

In generale una tangente farà un lavoro di questo tipo:

cub_2+1.gif (1970 bytes)La tangente in P incontra la curva in un altro
punto, Q. L'intersezione della tangente con la curva consta dei due
punti P e Q. Però il punto P conta due volte perchè la retta è
tangente in P, mentre in Q è trasversale alla curva. Quindi contando
bene l'intersezione della retta con la curva "consta" ancora di "tre"
punti: due volte P e una volta Q.



Il caso più particolare è quello di una tangente di flesso:

cub_inflex.gif (1711 bytes)Questo è un punto di flesso: la tangente
incontra la curva solo nel punto di tangenza. Contrariamente al caso
precedente, questa volta la curva "attraversa" la sua tangente; la
tangente ha un contatto maggiore con la curva. Contando bene,
l'intersezione della tangente con la curva consta ancora di tre punti:
il punto P contato tre volte.

Si può dimostrare che una cubica ha esattamente 9 punti di flesso.



Adesso abbiamo tutto il necessario per definire l'addizione di due
punti sulla nostra curva, è ora di girare pagina!
Addizione su una cubica

Iniziamo col scegliere un punto, O, sulla nostra curva (questo punto
farà la parte dello zero).

add_cubic.gif (2794 bytes)

Dati due punti P e Q consideriamo l'unica retta passante per P e Q;
come detto prima, questa retta interseca la cubica in 3 punti, due di
questi sono P e Q, il terzo lo notiamo P*Q ("terzo punto" di P e Q).
Adesso consideriamo l'unica retta che passa per O e il punto P*Q,
questa retta interseca la cubica in 3 punti, due di questi sono O e
P*Q, il terzo è il punto P+Q, la somma di P con Q.



Se P = Q, si considera all'inizio l'unica tangente alla curva nel
punto P, la tangente interseca la curva in tre punti (contati con
molteplicità), due di questi sono il punto P contato due volte, il
terzo è P*P. La tangente in P è una tangente di flesso se e solo se
P*P = P.

E' chiaro che: P + Q = Q + P (questa addizione è "commutativa").

Vediamo adesso che con questa definizione il punto O gioca proprio la
parte dello zero.

1) Per ogni punto P sulla cubica: P + O = P.

Infatti per calcolare P + O bisogna prima considerare l'unica retta,
r, passante per P e per O, questa retta interseca in un terzo punto:
P*O. Poi bisogna considerare la retta passante per O e per P*O, ma
questa è sempre la retta r. La retta r interseca la cubica in tre
punti: P, O, P*O; quindi il terzo punto (relativamente a O, P*O) è P.
Questo dimostra P + O = P.

2) Per ogni punto Q sulla cubica esiste un punto -Q tale che: Q + (-Q)
= O.

Consideriamo la tangente alla cubica nel punto O, la tangente
interseca la cubica in tre punti: il punto O contato due volte e il
"terzo" punto S = O*O. Adesso consideriamo il terzo punto della retta
passante per Q e S; questo terzo punto lo chiamiamo -Q.

simm_addcubic.gif (2903 bytes)Verifichiamo che Q + (-Q) = O.

Consideriamo la retta passante per Q e -Q; questa retta interseca la
cubica in tre punti: Q, -Q e S, quindi -Q*Q = S.

Adesso consideriamo la retta per S e O, per come l'abbiamo costruita,
sappiamo che è la tangente in O; quindi interseca in S e O contato due
volte, perciò il "terzo punto" di S e O è O. Questo dimostra Q + (-Q) = O.





Si può anche mostrare che la nostra addizione gode di un'altra
proprietà ("associatività") che conosciamo bene: P + (Q + R) = (P + Q)
+ R, per ogni terna di punti P, Q, R sulla cubica. La verifica di
questo fatto è piuttosto difficile.

Possiamo quindi addizionare i punti della cubica secondo le stesse
leggi che usiamo per addizionare i numeri interi (positivi e negativi).

Usando l'equazione della curva e le coordinate dei punti, si può
tradurre questa addizione in formule assai complicate e quindi più
difficili da decriptare.

La congettura di Fermat
Il grande enigma: la congettura di Fermat (ora teorema di Wiles)

Fermat si dilettava a rileggere le opere complete di Diofante ( 150
d.Cristo circa) autore greco che si occupava di questioni del genere:
"trovare due numeri tali che il quadrato di ciascun numero aumentato
dalla somma dei due numeri sia un quadrato"; cioè trovare x, y tali
che x2 + x + y = n2, e: y2 + x +y = m2 (Problema 22, secondo libro).


Quando Fermat trovava un'affermazione interessante nelle opere di
Diofante faceva un'annotazione nel margine del suo libro. Dopo la
morte di Fermat, suo figlio ebbe la buona idea di pubblicare
un'edizione delle opere di Diofante con le annotazioi del padre.

Una terna (x, y, z) di numeri interi è pitagorica se x2 + y2 = z2; in
virtù del teorema di Pitagora, x, y e z sono le lunghezze di un
triangolo rettangolo. Per esempio (3, 4, 5) è una terna pitagorica.
Esistono infinite terne pitagoriche e la formula che descrive tutte le
possibili terne pitagoriche è nota sin dall'antichità.

A proposito delle terne pitagoriche, Fermat scrisse nel margine della
sua edizione delle opere di Diofante:

"Più generalmente l'equazione xn + yn = zn, n > 2, non ammette
soluzioni intere con x.y.z non nullo [è chiaro che per esempio (1,0,1)
è soluzione]. Ho scoperto una dimostrazione notevole di questo fatto
ma purtroppo questo margine è troppo stretto per contenerla".

Non l'avesse mai detto!!

La reputazione di Fermat era tale che questa affermazione fu presa con
molta serietà, però (per colpa di quel margine troppo stretto!)
mancava la dimostrazione, per cui molti matematici, tra l'altro alcuni
fra i più celebri, cercarono di risolvere il problema (o la
"congettura" di Fermat).

Il caso n = 3 fu dimostrato da Eulero (1707-1783). Il caso n = 5 fu
risolto, nel 1825, da Legendre e Lejeune-Dirichlet. Sophie Germain
fece registrare progressi notevoli, ma era ancora ben lungi dal
risolvere il caso generale.
Il celebre matematico Kummer (1810-1893) fondò praticamente una nuova
branca della matematica (teoria degli ideali e dei campi di numeri)
nel tentativo di dimostrare il caso generale. In tempi più recenti
(1983), Faltings dimostrò (come corollario del suo teorema sul
problema di Mordell) che per ogni n > 3, l'equazione xn + yn = zn
aveva un numero finito di soluzioni (x, y, z) con x, y, z numeri interi.

colorbar.gif (4491 bytes)

Comunque la congettura di Fermat resistette per tre secoli, finchè nel
1993 il matematico inglese A. Wiles, seguendo un'idea di Frey,
annunciò di averla dimostrata. Questo annuncio fece scalpore e fu
organizzato un comitato di esperti ("referees") per verificare la
dimostrazione di Wiles.

Uno di questi (N. Katz) trovò l'errore. Wiles, chiaramente, era
disperato. Quando un matematico trova un errore in uno dei suoi
lavori, la sua prima (e unica) reazione è di cercare di colmare il
buco. Wiles lavorò intensamente per un anno, ideando una strategia
alternativa, e con l'aiuto del suo allievo, Taylor, riuscì a
completare i dettagli tecnici di questa nuova dimostrazione. Questa
volta i "referees" non trovarono niente da ridire. I lavori di Wiles e
Wiles-Taylor sono stati pubblicati nel 1995 nel volume 141 degli
Annals of Mathematics, una delle riviste più prestigiose di matematica.


La congettura di Fermat è dimostrata. (Tutto sommato, anche se con un
certo ritardo, gli inglesi sono riusciti a risolvere tutti i problemi
posti da Fermat).
Questo sembra ormai un fatto acquisito, tanto più che ulteriori
lavori, di vari matematici, hanno esteso i risultati di Wiles,
Wiles-Taylor, aldilà della congettura di Fermat.

Cosa c'entrano le curve ellittiche nella dimostrazione di Wiles?

Molto rapidamente, la dimostrazione funziona così: supponiamo che an +
bn = cn (*) sia una soluzione non banale dell'equazione di Fermat.
Consideriamo la curva di equazione y2 = x(x - an)(x - bn) ($); è una
cubica, anzi una curva ellittica. Fu Frey a osservare che tenuto conto
della relazione (*), questa curva ellittica, se esisteva, doveva avere
proprietà aritmetiche molto particolari. Anzi una tale curva avrebbe
fornito un contresempio ad un'altra congettura: la congettura di
Taniyama-Shimura (questo fu dimostrato da Ribet usando risultati di
Serre). A questo punto (siamo più o meno nel 1990), per dimostrare
Fermat, basta dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura. Wiles ha
dimostrato solo una parte della congettura di Taniyama-Shimura ("per
le curve semi-stabili"), ma questo basta per dimostrare Fermat in
quanto la curva ($) sarebbe "semi-stabile". Mi è impossibile spiegare
qui la congettura di Taniyama-Shimura, ma è una congettura veramente
fantastica...


La dimostrazione della congettura di Fermat usa strumenti molto
sofisticati della matematica moderna (curve ellittiche, forme
modulari, teoria delle rappresentazioni di Galois, anelli di
Gorenstein, ecc, ecc...)
La dimostrazione della congettura di Fermat non ha alcuna applicazione
pratica immediata (dal quel giorno non è nato, tanto per dire, nessun
nuovo computer ultra-potente).
Però il lavoro svolto negli ultimi tre secoli per risolvere questo
problema ha permesso lo sviluppo di intere branche della matematica i
cui frutti si sono già visti e si vedranno, sempre di più, nei
prossimi anni. Ed è per questo che la congettura di Fermat era un
problema "centrale" della matematica: non importa tanto il risultato,
ma piuttosto i metodi per arrivarci. Era chiaro da tempo che solo la
creazione di metodi completamente nuovi avrebbe permesso di
raggiungere la soluzione ed era anche chiaro che chi sarebbe riuscito
a risolvere la congettura di Fermat, avrebbe risolto, con gli stessi
strumenti, una miriade di altri problemi (ed è proprio successo così).


Dopo la risoluzione della congettura di Fermat, cosa rimane? Ci sono
tanti problemi aperti (per esempio la congettura di Goldbach, ma anche
tanti altri...e non solo in aritmetica), ma, per i matematici, il
prossimo Graal, è senz'altro la congettura di Riemann.