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Appendice 1

Alcuni utili teoremi di geometria elementare e di trigonometria

Teorema
L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti
dagli estremi del segmento.

Teorema
La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del
piano equidistanti dai lati dell'angolo.

Teorema
Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso
punto detto circocentro.

Teorema
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano
in uno stesso punto detto incentro.

Teorema
Le altezze di un triangolo si intersecano in uno stesso punto
detto ortocentro.

Teorema
Le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto
(detto baricentro) che divide ciascuna di esse in due parti delle
quali una, e cioè quella avente come altro estremo il vertice, è
congruente con il doppio dell'altra parte.

Primo criterio di congruenza dei triangoli (LAL)
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un angolo e la
coppia di lati che lo comprendono, allora i triangoli sono congruenti.

Secondo criterio di congruenza dei triangoli (ALA)
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e gli
angoli che lo comprendono, allora i due triangoli sono congruenti.

Terzo criterio di congruenza dei triangoli (LLL)
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora
tali triangoli sono congruenti.

Teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due
classi di segmenti direttamente proporzionali (e viceversa).

Primo criterio di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno due coppie di angoli corrispondenti
congruenti, essi sono simili.

Secondo criterio di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno una coppia di angoli corrispondenti
congruenti tra lati omologhi in proporzione, essi sono simili.

Terzo criterio di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno tutti i lati omologhi in proporzione, essi
sono simili.

Teorema sul triangolo isoscele
Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia
isoscele è che la mediana e l'altezza ad un lato, coincidano.

Teorema sui punti medi di due lati
Il segmento che ha per estremi i punti medi di due lati di un
triangolo è parallelo al terzo e la sua lunghezza è la metà del terzo.

Teorema
Le bisettrici degli angoli formati da due rette secanti sono
perpendicolari.

Teorema
Se in un quadrilatero i suoi angoli opposti sono congruenti,
allora tale quadrilatero è un parallelogramma.

Teorema
Un quadrilatero convesso è inscritto in una circonferenza se e
solo se i suoi angoli interni opposti sono supplementari.

Teorema
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza.

Teorema dei seni
In un triangolo qualsiasi di lati a, b, c, angoli A, B, C e raggio
della circonferenza circoscritta R, sono costanti i rapporti

a
senA = b
senB = c
senC = 2R

Teorema di Carnot (o del coseno)
In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di un lato è
uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due diminuita
del doppio prodotto di queste due per il coseno dell'angolo opposto al
primo.

a2 = b2 + c2 - 2bc·cosA b2 = a2 + c2 - 2ac·cosB c2 = a2
+ b2 - 2ab·cosC

Teorema
In ogni triangolo la differenza dei quadrati costruiti su due lati
è equivalente al doppio dell'area del rettangolo avente per lati, il
terzo lato del triangolo (c) e la proiezione sulla retta di
quest'ultimo della mediana relativa ad esso (mc).

a2 - b2 = 2·c·mc

Teorema sulle retta parallelle
Due rette sono parallele se e solo se formano con una trasversale
una coppia di angoli alterni interni (oppure alterni esterni, oppure
corrispondenti) congruenti.

Teorema
In circonferenze congruenti o nella stessa circonferenza, ad archi
congruenti corrispondono angoli al centro congruenti.

Teorema
In circonferenze congruenti o nella stessa circonferenza, a corde
congruenti corrispondono archi congruenti.

Teorema
In circonferenze congruenti o nella medesima circonferenza, angoli
alla circonferenza che insistono su archi congruenti sono congruenti
e, viceversa, angoli alla circonferenza congruenti insistono su archi
congruenti.

Teorema
Due secanti parallele ad una circonferenza intercettano su di essa
archi uguali e viceversa.

Teorema
Ogni angolo alla circonferenza è congruente con la metà
dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco.

Teorema
Un angolo esterno di un triangolo è congruente con la somma degli
angoli interni non adiacenti ad esso.

Teorema
La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un
angolo piatto.

Teorema
In un triangolo isoscele, la mediana avente origine nel vertice è
bisettrice dell'angolo al vertice ed è perpendicolare alla base.

Area di un triangolo
Se a, b, c sono le lunghezze dei lati di un triangolo e α, β,
γ i
corrispondenti angoli, l'area del triangolo è espressa da

Area = 1
2 a·b senγ = 1
2 a·c senβ = 1
2 b·c senα

Teorema della bisettrice.
La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato
opposto all'angolo in parti proporzionali agli altri due lati e viceversa.

Teorema della bisettrice dell'angolo esterno
La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo interseca il
prolungamento del lato opposto in un punto le cui distanze dagli
estremi di questo lato sono proporzionali agli altri due lati.

Teorema.
I segmenti delle rette tangenti ad una circonferenza condotte da
un punto P esterno ad essa, aventi un estremo in P e l'altro in uno
dei punti di contatto, sono congruenti.

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