Domanda

Leggendo la risposta alla domanda "Le superfici in quattro dimensioni"
mi nasce una nuova domanda.
Visto che è possibile rappresentare su una superficie a 2 dimensioni
la proiezione di un oggetto a 3 dimensioni, sarebbe possibile
rappresentare un oggetto a 4 dimensioni proiettandolo su uno spazio a
3 dimensioni? Si potrebbe proseguire proiettando a sua volta questo
oggetto su un piano a 2 dimensioni?
Posta da Davide P
Ricevuta il

27 settembre 2004
Risposta

La risposta è sì. Ad esempio consideriamo un oggetto quadrimensionale:
un "Ipercubo", analogo quadridimensionale del cubo in 3 dimensioni e
del quadrato in 2 dimensioni. Come possiamo figurarcelo?
Possiamo pensare a cubo e quadrato in R2 e R3 come la parte di spazio
ottenuta dalle proiezioni del punto (1,1) o del punto (1,1,1) sugli
assi cartesiani. In questo modo l'analogo unidimensionale è il
segmento unitario.

Possiamo visualizzare il quadrato come generato da un segmento che si
muove perpendicolarmente a se stesso:

e, similmente, il cubo generato dal movimento del quadrato
perpendicolarmente a se stesso:

In modo analogo possiamo rappresentare l'ipercubo come generato da un
cubo che si muove "perpendicolarmente a se stesso", solo che questo
moto dovrebbe avvenire lungo una ipotetica quarta dimensione. Lo
possiamo disegnare ugualmente nello spazio ordinario, ottenendo quella
che costituisce una proiezione dell'ipercubo nello spazio tridimensionale:

Questo oggetto quadrimensionale avrà 8 "facce solide" (cioè cubiche),
24 facce bidimensionali (quadrati), 32 spigoli e 16 vertici.
Possiamo notare che abbiamo dato l'idea di come rappresentare
l'ipercubo nello spazio a 3 dimensioni, ma il disegno che abbiamo
creato sta su un piano ed è quindi una rappresentazione bidimensionale
dell'ipercubo!
A cura di Alessandro G
Matematica
Bologna