Geometrie non euclidee
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e_non_euclidee.htm



Euclide, per costruire la sua geometria, partì da alcune premesse
(postulati) da cui dedusse col ragionamento tutti quei risultati che,
sistemati e ordinati costituirono l'ossatura della geometria
cosiddetta euclidea.

Il quinto postulato ("Per un punto esterno ad una retta data si può
condurre una ed una sola retta parallela alla retta data") fu per
duemila anni oggetto di discussioni per la sua difficile
verificabilità, da parte dei matematici. Sembrava comunque evidente
che la sua dimostrazione dovesse basarsi sui primi quattro postulati
e sugli enunciati da essi deducibili. Nel 1733 il gesuita Geronimo
Saccheri provò a dimostrare il quinto postulato per assurdo;
nonostante ciò, esso può essere considerato in pratica il primo
costruttore di una geometria non euclidea.

Bolyai e soprattutto Lobacevskij, intorno al 1700-1800 svilupparono
una nuova geometria, detta geometria iperbolica, il cui quinto
postulato è sostituito con l'affermazione che per un punto esterno ad
una retta data passano più di una parallela alla retta stessa. Nel
1854 Riemann mise a punto un terzo sistema geometrico, detto
geometria ellittica, che nega l'esistenza di parallele ed in cui non
sono soddisfatti gli assiomi dell'ordine.

Geometria ellittica: Le costruzioni più semplici della geometria
piana si possono eseguire tracciando delle rette e trasportando
segmenti ed angoli; se vogliamo, per estensione, eseguire costruzioni
analoghe sulle superfici curve, incontriamo una differenza
sostanziale: nelle costruzioni piane abbiamo considerato il piano
nella sua totalità, mentre sulle superfici curve generalmente si
considerano solo regioni di piccola estensione. Se prendessimo la
sfera, che gode della proprietà di essere a curvatura gaussiana
costante e positiva, verrebbe a cadere l'analogia con il piano, in
quanto per due punti diametralmente opposti della sfera passano
infiniti cerchi massimi (le sue linee geodetiche), mentre per due
punti del piano passa una sola retta. Inoltre due rette nel piano
hanno al massimo un punto in comune, mentre due cerchi massimi della
sfera si tagliano sempre in due punti diametralmente opposti.
Eliminiamo questa proprietà perturbatrice della sfera con un
artificio: consideriamo un solo emisfero, ed ogni coppia di punti
diametralmente opposti al cerchio massimo che lo limita, come un
punto unico.

La geometria che regola questo modello di superficie è la geometria
ellittica, e la superficie stessa è chiamata modello del piano
ellittico. In essa non sono soddisfatti gli assiomi dell'ordine,
sostituiti da assiomi di separazione tra quattro punti

Geometria iperbolica: Le superfici di rotazione aventi curvatura
costante negativa, possono assumere tre forme diverse.

Costruiamo un piano iperbolico e la sua geometria, detta geometria
iperbolica. Come punti di questo piano consideriamo i punti situati
all'interno di un cerchio in un piano ordinario, e come rette
iperboliche le corde di questo cerchio fuorché gli estremi. Ogni
regione F di una superficie avente curvatura costante negativa –
(1/c2) può essere rappresentata in una regione G del piano interna al
cerchio in modo tale che le linee geodetiche di F siano sempre
trasformate nei segmenti di retta contenuti in G. Se A e B sono le
immagini di due punti P e Q di F, e se R e S sono i punti estremi
della corda passante per A e per B, la distanza geodetica s dei punti
P e Q è data da:



detta "distanza iperbolica" per tutte le coppie di punti AB del
modello di piano iperbolico.

Nella geometria iperbolica un solo assioma della geometria euclidea
non risulta verificato: quello delle parallele.